sâmbătă, 29 noiembrie 2014

Lumina Math 2014 / clasa a 7-a și a 8-aProblema cu motocicleta - de pus în ecuație

Concursul Lumina Math 2014 clasa a 7-a și a 8-a

Tatăl și cei doi fii adulți ai săi merg în vizită la bunica. Ei au la dispoziție o motocicletă. Pe motocicletă pot circula maxim două persoane simultan. Viteza de deplasare a motocicletei este de 20 km/h cu două persoane și de 25 km/h cu o persoană. Viteza de deplasare pe jos a oricărei persoane este de 5 km/h.

Să se afle timpul minim în care pot ajunge cei trei bărbați la bunica, știind că distanța până la casa bunicii este de 30 km.



                 A) 29/11 h         B) 12/11 h         C) 17/11 h            D) 31/11 h            E) 30/11 h

Pentru a rezolva această problemă să ne gândim cum pot parcurge cei trei oameni drumul până la bunica pentru a ajunge cât mai repede.

Dacă presupunem că pleacă pe motocicletă doi dintre ei, fiind doi oameni pe motocicletă, viteza de mers este de 20 km /h. Rezultă că într-o oră și jumătate vor ajunge la bunica unde unul dintre ei coboară și celălalt se întoarce să îl ia și pe cel de-al treilea. Cu 25 km/h acest drum de întoarcere va fi parcurs într-un timp egal cu 30:25 = 1,2 h = 1 oră și 10 minute. Ajunge omul cu motocicleta la punctul de plecare și îl ia și pe cel de al treilea. Amândoi fac cu motocicleta 30 km cu viteza de 20 km/h încă o oră și jumătate până la bunica. În total de la început au trecut 1,5 + 1,2 + 1,5 = 4,2 ore. Observăm că în răspunsurile problemei nici unul dintre răspunsuri nu este atât de mare!!! Cel mai mare timp este de 31/11 ore, deci mai mic de trei ore. Înseamnă că există o cale prin care putem scurta timpul în care cei trei oameni să ajungă la bunica.

Să ne gândim cum.

În primul rând dacă la momentul în care cei doi pleacă cu motocicleta spre bunica, pleacă și cel de-al treilea pe jos? În acest fel, când se va întoarce motocicleta îl va lua și pe el de la o distanță mai apropiată de casa bunicii și timpul va fi mai scurt.

În al doilea rând, dacă cei doi care pleacă pe motocicletă, se opresc undeva pe drum, înainte de casa bunicii, și unul dintre ei coboară și merge în continuare pe jos, iar omul cu motocicleta se întoarce, timpul se va scurta! El merge înapoi cu motocicleta până se întâlnește cu cel de-al treilea, îl ia pe motocicletă, se întorc și merg spre casa bunicii și ajung acolo în același timp cu primul care a mers și el pe jos o bucată de drum.


În figura 1 este reprezentat drumul până la casa bunicii. Știm că sunt 30 km.

Motocicleta pleacă cu oamenii notați cu literele A și B, cu viteza de 20 km/h și parcurge drumul notat cu x1 în timpul t1.

Din relația cunoscută (de la fizică!) distanța = viteaza x timpul

Putem scrie: x1 = 20 t1         (1)
Aici se oprște și un om coboară (notat cu litera B) și pornește pe jos și merge până la casa bunicii distanța x2 în timpul t2 cu 5 km/h.
x2 = 5 t2                   (2)
Notăm că aceste distanțe x1 și x2 formează întregul drum până la casa bunicii 30 km.
x2 +x1 = 30 km             (3)
Înlocuim relațiile 1 și 2 în relația 3 și obținem:
20 t1 + 5 t2 = 30            (4)
Motocicleta se întoarce cu un singur om (notat cu litera A) , merge cu viteza de 25 km/h, parcurge distanța x3 în timpul t3.
x3 = 25 t3          (5)
Distanța x3 reprezintă locul în care motocicleta se întâlnește cu omul notat cu litera C. C a mers pe jos distanța x1 – x3 cu viteza de 5 km/h în timpul t1 + t3
x1 – x3 = 5 ( t1 + t3)       (6)
După ce s-au întâlnit A cu C pornesc amândoi pe motocicletă spre casa bunicii și ajung acolo în același timp cu B.
Ei merg cu viteza de 20 km/h și parcurg drumul x3 + x2 în timpul t4
x3 + x2 = 20 t4          (7)
B a mers spre casa bunicii distanța x2 în timpul t2. În acest timp t2, motocicleta s-a întors și a mers timpul t3 până s-a întâlnit cu C și apoi amândoi cu motocicleta spre casa bunicii au mers timpul t4. Deoarece ei ajung odată cu B înseamnă că timpul
t2 = t3 + t4             (8).
Problema ne cere să aflăm timpul în care cei trei ajung la casa bunicii, asta înseamnă că trebuie să aflăm timpul t1 + t2 sau t1 + t3 + t4.
Înlocuim relațiile 1 și 2 în relația 3. Se obține.
20 t1 + 5 t2 = 30 Împărțim relația prin 5. Rezultă:
4 t1 + t2 = 6 (9)

Înlocuim relația 8 în relația 9. Rezultă: 4t1 + t3 + t4 = 6 (10)

Adunăm relațiile 6 și 7 și ținem cont de relația 3:

x1 + x2 = 5t1 + 5t3 + 20 t4 = 30 Rezultă: t1 + t3 + 4t4 = 6 (11).

Înlocuim relațiile 1 și 5 în relația 6. Rezultă:

20t1 – 25 t3 = 5(t1 + t3) Împărțim prin 5.

4t1 – 5t3 = t1 + t3 Rezultă 3t1 = 6 t3 sau t1 = 2 t3 (12)

Acum luăm cele trei ecuații 10, 11 și 12:

4t1 + t3 + t4 = 6           (10)

t1 + t3 + 4t4 = 6           (11).
t1 = 2 t3                        (12)

Scădem relațiile 10 și 11. Rezultă. t1 = t4 (13)

Din 12 avem t3 = t1 / 2 și din 13 avem t4 = t1 . Aceste expresii pentru timpii t3 și t4 le înlocuim în relația 10. Rezultă:

4 t1 + t1 / 2 + t1 = 6 Înmulțim relația cu 2

8 t1 + t1 + 2 t1 = 12

11 t1 = 12 Rezultă t1 = 12 / 11

Înlocuim valoarea lui t1 în expresiile lui t3 și t4

t3 = t1 / 2 = (12 /11)(1/2)= 12 / 22 = 6 / 11

t4 = t1 = 12 / 11

Acum calculăm timpul cerut de problemă:

t1 + t3 + t4 = 12/11 + 6/11 + 12/11 = 30 / 11 Acesta este rezultatul problemei.











vineri, 28 noiembrie 2014

Sinusul şi cosinusul argumentului dublu, triplu şi la jumătate



Sinusul argumentului dublu

(1)      sin 2a = 2 sin a cos a,   pentru orice a număr real

Această formulă se obţine din formula pentru sinusul sumei  sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a, în care considerăm  a = b    şi avem sin (a+a) = sin a cos a + sin a cos a = 2 sin a cos a

Cosinusul argumentului dublu

(2)    cos 2a = cos2 a – sin2 a

Această formulă se obţine din formula cosinusului sumei  cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b  în care considerăm a = b   cos(a+a) = cos a cos a – sin a sin a = cosaa – sin2a.

Formula cosinusului argumentului dublu se mai poate scrie şi sub alte forme dacă folosim formula fundamentală sin 2 a + cos 2 a =1  din care putem să exprimăm   sin a în funcţie de cos a şi invers.

sin2 a = 1 – cos2a    şi cos2a = 1 – sin2a

(3)    cos 2a = cos2 a – sin2 a = 1 - sin2a – sin2a = 1 – 2 sin2a

(4)    sau  cos 2a = cos2 a – (1 -cos2 a) =  cos2a –1 +cos2a =  2 cos2a - 1

Din relaţia (3)  putem să exprimăm sinusul unui unghi în funcţie de cosinusul argumentului dublu

2sin2a = 1 – cos 2a din care rezultă:


         
Din relaţia (4)  putem să exprimăm cosinusul unui unghi în funcţie de cosinusul argumentului dublu
2 cos2a = 1 + cos 2a din care rezulta:

Dacă înlocuim pe a cu a/2 vom obţine formule în care exprimăm  sinusul şi cosinusul jumătăţii argumentului :
 
Putem să deducem formule pentru argumentul triplu, astfel:

sin 3a = sin a cos 2a + sin 2a cos a = sin a (cos 2a – sin 2a) + 2 sin a cos a cos a =
=sin a cos2a  - sin 3a + 2 sin a cos2a = 3 sin a cos2a – sin 3 a =
=3 sin a (1 – sin2a) – sin3a = 3 sin a – 4 sin3a, pentru orice a real.



cos 3a = cos (a + 2a) =  cos a cos 2a – sin a sin 2a =  cos a (cos2a –sin2a) – sin a 2 sin a cos a =
= cos3a – cos a sin2a – 2 sin2a cos a = cos3a – 3 sin2a cos a =  cos3a -3 (1 – cos 2a) cos a =
=  cos3a – 3 cos a+3cos3a =  4 cos3a -3cos a
 
Exerciţii rezolvate:

Să aplicăm formulele de mai sus şi să calculăm

joi, 27 noiembrie 2014

Problemă cu procente

Problemă de la concursul Lumina Math 2014, clasa a 8-a

Vlad, Corina și Dan au fiecare câte o sumă de bani. Vlad și Corina au împreună 40% din suma totală, Corina și Dan au împreună 80% din suma totală. Ce procent din suma totală are Corina?

10%                        20%                         30%                   40%                       50%  ?


Presupunem că sumele de bani pe care le au cei trei copii sunt V, C și D. În total cei trei copii au o sumă de bani egală cu S.
putem scrie V + C + D = S    (1).
Deoarece problema ne cere să aflăm ce procent din suma totală are Corina, vom transforma relația de mai sus într-o relație în procente astfel:
Dacă întreaga sumă reprezintă întregul pe care îl împărțim în 100 de părți egale și fiecare copil are un anumit număr de părți, altfel spus: S îl reprezentăm prin 100% .Prin regula de trei simplă aflăm cât reprezintă sumele pe care le au copiii  în procente. notăm cât la sută din suma totală are Corina prin Pc, cât la sută din suma totală are Vlad prin Pv și la fel pentru  Dan prin Pd.
Dacă S ..........100%
         C  .............Pc      rezultă că   Pc =  C x 100%  / S

Dacă S .............100%
         V...............Pv        rezultă că Pv = V x 100% / S

și la fel pentru Dan:  dacă   S...........100%
                                         D............Pd   rezultă Pd =  D x 100% / S
În relația 1   înmulțim toată relația, la stânga și la dreapta cu 100% și totodată o împățim prin S. Obținem:

 V x 100%  +  C x 100% + D x 100%  = S x 100%  și după împărțirea relației prin S obținem:
V x 100% / S + C x100% / S + D x 100% / S = 100%
Acum observăm că în relația noastră sunt exact procentele din suma totală de bani pe care le au Vlad, Corina  și  Dan.
Pv + Pc + Pd = 100%  (2)
Din datele problemei cunoaștem că Vlad și Corina au împreună 40% din suma totală S, asta înseamnă că
Pv + Pc = 40%  
Dacă înlocuim acestă relație în relația 2 obținem procentele lui Dan:   Pd = 100% - 40% = 60%.
tot din datele problemei cunoaștem că Suma de bani pe care Corina și cu Dan o au reprezintă 80% din suma totală adică Pc + Pd = 80% . Înlocuim această relație în relația 2 și obținem Pv = 100% - 80% = 20%  .
Acum putem să aflăm Pc = 100% - Pd - Pv = 100% - 60% - 20%  = 20%.
Deci suma de bani pe care o are Corina reprezintă 20% din suma totală de bani.

Răspunsul problemei este:  20%.

miercuri, 26 noiembrie 2014

Calculați valoarea raportului

Exercițiu de la concursul național Lumina Math 2014, clasa a 8-a


             
Dacă   atunci valoarea raportului    este egală cu: 

duminică, 23 noiembrie 2014

Inecuație cu numere întregi clasa a 8-a



Un exercițiu de la concursul național de matematică Lumina math 2014 clasa a 8-a.

Dacă a este un număr natural nenul astfel încât pentru exact 11 valori întregi ale lui x avem inegalitatea,
atunci a are valoarea
 1                     2                 3                  4             sau              5 ?


Rezolvare:
Luăm prima partea a inegalității și scriem inecuația:

Aducem la același numitor și eliminăm numitorul (putem să scriem fără numitor deoarece acesta este un număr pozitiv / este număr natural/ . Rezultă      -a < x.
Luăm cea de –a doua parte a inegalității și scriem inecuația: 
Aducem la același numitor și eliminăm numitorul (putem să scriem fără numitor deoarece acesta este un număr pozitiv / este număr natural/ . Rezultă      x < 2a.

Punând împreună cele două inecuații avem:   -a < x< 2a.

Problema ne spune că x are exact 11 valori.  Pentru că a este un număr natural, 2a este dublul lui, tot natural și –a este număr negativ. Rezultă că numărul zero care se află între –a  și 2a   poate fi valoare a lui x, de asemenea   numărul  a   aflat între –a și 2a poate fi valoare a lui x.
Dacă desenăm o axă a numerelor:

Segmentele    -a până la zero ,   sau de la 0   până la a, precum și cel de la  a până la 2a  sunt de aceeași mărime, ele conțin același număr de numere între ele   și anume a-1  numere ( de exemplu de la 4 până la 8  fără să considerăm capetele găsim  8 – 4 1 numere ).
Avem 3 segmentedeci sunt    3(a-1) numere în interiorul fiecărui segment. Dar împreună cu valorile care pot fi ale lui x, adică  0  și a (deci încă două valori), înseamnă că avem
3(a-1) + 2 numărul total de valori ale lui x între –a   și 2a. 
Această expresie o egalăm acum cu 11 deoarece problema spune că sunt exact 11 valori ale lui x.
3(a-1) + 2 = 11
3(a-1)  = 9
a-1 = 3   =>  a = 4  

Soluția problemei este a =4.




joi, 20 noiembrie 2014

Ecuatie cu radicali (clasa a 7-a)


a)      Fie E(x) = x + 3. Determinaţi valorile reale ale lui x pentru care:  

b)      Determinaţi valorile întregi ale lui a (a<0) pentru care este adevărată relaţia


Rezolvare :
Pentru a afla valorile lui x putem să rezolvăm pe două căi, astfel :
1.       Observăm că avem o ecuaţie în care necunoscuta este expresia E(x). Noi putem să rezolvăm această ecuaţie considerând ca necunoscută E(x) şi să aflăm valoarea acestei necunoscute, apoi cu ajutorul informaţiei din datele problemei, prin care E(x) este egal cu x+3, vom forma o nouă ecuaţie în care vom avea ca necunoscută x. În continuare vom calcula valoarea lui x.
2.       O altă cale este de a înlocui E(x) în ecuaţia dată cu x+3 şi să rezolvăm de la început ecuaţia în necunoscuta x.

Varianta 1. Amplificăm membrul stâng al ecuaţiei pentru a avea acelaşi numitor şi totodată eliminăm numitorul ecuaţiei :
 

Deoarece 64 se obţine din ridicarea la puterea a doua fie a lui +8 fie a lui -8 pentru expresia E(x) putem avea două soluţii . Înlocuim pe rând expresia E(x) cu x+3 în cele două soluţii şi vom obţine valorile reale ale lui x pentru care egalitatea din problemă este adevărată. Astfel:
X+3 = +8  =>  x = 8-3 = 5 
X+3 = -8 =>  x= -8-3 = -11. Acestea sunt soluţiile. Vom scrie soluţia generală a ecuaţiei:
Varianta a 2-a : Înlocuim E(x) cu x+3 şi obţinem :
Amplificăm tot membrul stâng cu numitorul din dreapta, eliminăm numitorul şi scriem:
Efectuăm înmulţirea celor două paranteze înmulţind termen cu termen şi obţinem:

Observăm că 55 este produsul dintre 11 şi 5 şi, totodată că 6x se poate scrie ca diferenţa +11x-5x.
Grupăm termenii doi câte doi şi dăm factor comun la primii doi pe x şi la ceilalţi doi pe -5. Obţinem:


Acum putem să dăm factor comun paranteza x+11 şi obţinem:
Am obţinut un produs care este egal cu zero. Ştim că întotdeauna un produs este egal cu zero atunci când cel puţin unul din factorii produsului este egal cu zero. Rezultă:
Cazul 1.   x+11=0  =>  x=-11  
Cazul 2> x-5 = 0  =>  x=5
Vom scrie soluţia generală a ecuaţiei:
b) Pentru punctual b al exerciţiului avem de aflat valorile întregi ale lui a (a<0) pentru care este adevărată relaţia
Deoarece E(x) = x +3    dacă x = a    avem E(a) = a + 3   şi dacă 
avem
Înlocuim în inegalitate cele două valori ale expresiei E(x) şi obţinem:
 


Am obţinut un produs de doi factori ( parantezele) care este mai mare ca zero. Observăm că primul factor (prima paranteză) are valoare pozitivă (deoarece radical din 3 este 1,73…) şi, în concluzie cel de-al doileea factor (a doua paranteză) trebuie să aibă tot valori pozitive pentru ca rezultatul înmulţirii să fie pozitiv.
a+3>0  =>  a>-3 
Deoarece exercţiul pune condiţiile pentru a de a fi număr întreg şi negativ rezultă :
Aceste două valori ale lui a reprezintă soluţia exerciţiului.