Evaluare națională la matematică 2015/ simulare clasa a VIII-a / Subiectul al III-lea

Rezolvarea subiectului al III-lea de la Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice / Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Pentru subiectul I accesați postarea Subiectul I și pentru  subiectul al 2 -lea accesati postarea Subiectul al II-lea

 

SUBIECTUL al III-lea - Pe foaia de examen se scriu rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Figura 2 este schiţa unui parc în formă de dreptunghi ABCD cu AB = 5 hm şi AD = 3 hm . Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele EF , DP , DQ , BP și BQ , unde

astfel încât AE = CF =1 hm, iar segmentele DP și BQ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele D, respectiv B la dreapta EF .

 

5p.                    a) Calculați lungimea aleii EF .

5p                     b) Arătați că traseul E → P→D și aleea EF au aceeași lungime.

5p                     c) Demonstrați că patrulaterul DPBQ este paralelogram.

Rezolvare:

a)       ABCD dreptunghi, rezultă că AB = CD = 5 hm şi AD = BC =  3 hm

AB‖ CD, AD ‖ BC și unghiurile dreptunghiului A, B , C și D sunt de 90 de grade

AE = CF =1 hm rezultă că DF = CD – CF = 5 hm – 1 hm = 4 hm.

Și BE = AB – AE = 5 hm – 1 hm = 4 hm 

Construim EM ⊥ CD, unde

 

 Deoarece unghiurile A,  D și M au 90 grade, rezultă că patrulaterul AEMD este dreptunghi și ca urmare:

AE =  MD = 1 hm și  AD = EM = 3 hm

Rezultă că putem calcul segmental MF = DF – DM = 4 – 1 hm = 3 hm.

În triunghiul EMF avem: un unghi de 90 grade și două laturi egale EM = MF = 3 hm. Rezultă că triunghiul este dreptunghic isoscel, cu catetele de 3 hm.

Aplicăm teorema lui Pitagora și calculăm ipotenuza:

EF² = EM² + MF² = 3² + 3² = 2 ·3²  =>

  b)
Deoarece triunghiul EMF este dreptunghic isoscel avem unghiurile
m(≮ MFE) = m (≮MEF) =   45^o,  de unde obținem și unghiul DFE =   45^o

Deoarece din ipoteză avem DP ⊥ PF rezultă că triunghiul DPF este dreptunghic isoscel (are unghiurile ascuțite egale cu 45 grade) . De aici rezultă că DP = PF și ca urmare traseul E → P→D este determinat de suma segmentelor EP + PD = EP + PF = EF  și are aceeași lungime cu segmental EF.

c)

Avem DF = EB = 4 hm  și  ≮DFP = ≮ FEB = 45^o (alterne interne la paralelele AB și CD tăiate de secanta EF).  Rezultă că Δ DPF ≡ Δ BEQ (cazul de congruență ipotenuză – unghi) . Din această congruență rezultă că și celelalte elemente ale triunghiurilor sunt congruente, adică DP ≡ BQ.

Deoarece DP ⊥ EF și BQ⊥EF rezultă că DP ‖ BQ

Din aceste ultime relații rezultă că patrulaterul DPBQ este un paralelogram  (două laturi opuse sunt paralele și congruente).

 _____________________________________________________________________________

2. În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu VA = 8 cm și AB = 8 cm.

Punctele E și F sunt mijloacele segmentelor AB , respectiv BC . Punctul M este situat pe muchia VB astfel încât EM ⊥VB .

5p.     a) Calculaţi aria triunghiului BEF .

5p      b) Determinați măsura unghiului format de dreapta VD cu planul ( ABC) .

5p      c) Demonstrați că muchia VB este perpendiculară pe planul (EMF ) .

Rezolvare:

a)    Avem o piramidă patrulateră regulată VABCD cu VA = 8 cm și AB = 8 cm.

E și F sunt mijloacele laturilor AB și BC. Deoarece piramida este regulată, laturile bazei sunt egale, deci baza piramidei este un poligon regulat cu 4 laturi, adică un pătrat cu latura de 8 cm. BE = 4 cm, BF = 4 cm. Aria triunghiului BEF este:

b)  Pentru a determina măsura unghiului format de dreapta VD cu planul ( ABC) ținem cont de următoarele:

La piramida regulată  muchiile laterale sunt toate congruente între ele, pentru că o asemenea piramidă este și dreaptă. Avem VA = VB = VC = VD = 8 cm. Fețele laterale ale piramidei sunt, prin urmare triunghiuri echilaterale.

Unghiul format de dreapta VD cu planul (ABC) îl găsim  ducând o perpendiculară pe planul bazei pornind dintr-un punct al dreptei. Cel mai potrivit punct este vârful piramidei V. Când coborâm perpendiculara din V pe planul bazei aceasta va întâlni punctual de intersecție al diagonalelor pătratului, așa cum se vede în figură, deoarece piramida este regulate dreptă.  OD este proiecția muchiei VD pe planul bazei. Definiție: Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul format de dreaptă și proiecția ei pe plan.

Ținând cont de definiție ≮ (VD, (ABC) ) = ≮ (VD, VO) = ≮ VDO.

În triunghiul VBD avem: VD = VB = 8 cm și BD , diagonala pătratului o calculăm cu teorema lui Pitagora aplicată în Δ ABD: 

Observăm că laturile triunghiului VBD corespund teoremei lui Pitagora,  deci este un triunghi dreptunghic isoscel (VB = VD). Deci unghiul VDB este de 45 grade.
 

≮ (VD, (ABC) ) = ≮ (VD, VO) = ≮ VDO = 45^o
 

c)  EM ⊥ VB  din ipoteză.
Deoarece avem următoarele condiții îndeplinite:
BM este latură comună,
≮MBE = ≮MBF = 60^o și
BE = BF = 4 cm
Rezultă că Δ BME ≡ Δ BMF . Din această congruență rezultă că
≮BME ≡≮ BMF = 90^o deci putem scrie
FM ⊥ BM  sau FM ⊥ VB.  Ceea ce se poate scrie și invers:  VB ⊥ FM (1)

În ipoteza avem: EM ⊥ VB care o putem citi și invers:
VB ⊥ EM (2),
Deoarece EM ∩ FM = {M} (3)

Din  relațiile 1 , 2 și 3 găsim că dreapta VB este perpendiculară pe două drepte concurente EM și FM. Definiția spune că dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente, atunci ea este perpendiculară pe planul determinat de cele două drepte concurente.

 EM și FM determină planul (EMF).

Rezultă că VB ⊥ (EMF).