Matematică - rezolvări detaliate: februarie 2015

joi, 26 februarie 2015

Evaluare națională la matematică 2015/ simulare clasa a VIII-a / Subiectul al III-lea

Rezolvarea subiectului al III-lea de la Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice / Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Pentru subiectul I accesați postarea Subiectul I și pentru subiectul al 2 -lea accesati postarea Subiectul al II-lea

Aflați mai multe »

Evaluare națională la matematică 2015 / Simulare / clasa a VII-a / Subiectul 2

EVALUAREA NAŢIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI a VIII-a - Subiectul al II-lea

Anul şcolar 2014 - 2015 Matematică Simulare

Rezolvarea subiectelor de la Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice / Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Aflați mai multe »

Evaluare națională la matematică /simulare 2015, clasa a VIII-a / Subiectul I

EVALUAREA NAŢIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI a VIII-a

Anul şcolar 2014 - 2015 - Matematică - Simulare

Rezolvarea subiectelor

La simulare toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.

SUBIECTUL I - Pe foaia de examen se scriu numai rezultatele. (30 de puncte)

Aflați mai multe »

duminică, 22 februarie 2015

Olimpiada de matematică, etapa pe sector 2015, Clasa a VII-a Subiectul 4.

Olimpiada de matematică, etapa pe sector 2015, Clasa a VII-a Subiectul 4.

Se consideră pătratul ABCD și punctele: M aparține lui (BC); O aparține lui (BD); N aparține lui (CD , astfel încât O este mijlocul segmentului MN.

Determinați măsurile unghiurilor triunghiului MAN.

Aflați mai multe »

vineri, 20 februarie 2015

Olimpiada de matematica 2015 etapa de sector, clasa a VII-a, Subiectul 3 / geometrie

Olimpiada de matematica 2015 etapa de sector,
clasa a VII-a, Subiectul 3 / geometrie,

Fie A. B, C trei puncte necoliniare. Dacă D este mijlocul lui [BC], M este mijlocul lui [AD], E este simetricul lui B față de M și N aparține segmentului [BM] astfel încât:

m(∢ ANC) = m (∢ DNM) = 90⁰.
Arătați că patrulaterul AECD este dreptunghi.

Rezolvare:

Pentru a arăta că patrulaterul AECD este un dreptunghi, avem nevoie să arătăm că are laturile lui sunt congruente și paralele două câte două (cu alte cuvinte, să arătăm că este un paralelogram) și că fie un unghi este de 90⁰ , fie că diagonalele paralelogramului sunt congruente.

Să vedem cum facem demonstrația. Ne uităm la datele problemei.

Avem trei puncte necoliniare A, B și C.

D este mijlocul segmentului [BC], rezultă că [BD] ≡ [DC],                (1)
M este mijlocul lui [AD], rezultă că [AM] ≡ [MD],                              (2)
E este simetricul lui B față de M, rezultă că B, M și sunt trei puncte coliniare și
[BM] ≡ [ME],                (3)

Din relațiile (2) și (3) : rezultă că AD intersectează BE în punctul M și

[AM] ≡ [MD] , [BM] ≡ [ME]

Rezultă că ABDE este un paralelogram (dacă diagonalele unui patrulater se intersectează astfel încât diagonalele să fie împărțite în părți egale (se înjumătățesc) atunci patrulaterul este un paralelogram)

Deoarece ABDE este un paralelogram, rezultă că laturile lui sunt paralele și congruente, două câte două:

[AE] = [BD] , [AB] = [DE] , [AE] ‖ [BD] , [AB] ‖ [DE] (4)

Deoarece B, C și D sunt trei puncte coliniare (D fiind mijlocul segmentului BC) rezultă că

[AE] ‖ [BC] sau [AE] ‖ [DC] (5)

Deoarece [BD] ≡ [DC], relația (1) și [AE] = [BD] din relația (4) rezultă [AE] = [DC] (6)

Din (5) și (6) [AE] ‖ [DC] și [AE] = [DC] , rezultă că AECD este parallelogram (folosim teorema: Dacă într-un patrulater două laturi opuse sunt paralele și congruente atunci patrulaterul este un paralelogram). Am aflat despre patrulaterul AECD că este un paralelogram.

Deoarece AECD este paralelogram, are proprietatea că diagonalele se taie în părți egale. Rezultă că:

AC Ո DE ={O} , [AO] ≡ [OC] și [EO] ≡ [OD], deci măsurile segmentelor sunt egale:

AO = OC și EO = OD

În triunghiul dreptunghic ANC avem unghiul ANC de 90 grade (din ipoteză) și ON mediană deoarece O este mijlocul lui AC, rezultă că ON = AC / 2 = AO = OC; (7)

În triunghiul dreptunghic DNE avem unghiul DNE de 90 grade (din ipoteză) și ON mediană deoarece O este mijlocul lui DE, rezultă că ON = DE / 2 = DO = EO (8)

Din relațiile 7 și 8 rezultă că:

ON = AO = OC = DO = EO ceea ce înseamnă că diagonalele AC și DE sunt egale

AC = DE = 2 NO (9)

AECD este un paralelogram care are diagonalele egale, deci este un dreptunghi.

miercuri, 18 februarie 2015

Clasa a VII-a Algebră / Subiectul II Olimpiada de matematică, etapa pe sector, 15 februarie 2015

Clasa a VII-a Algebră / Subiectul II Olimpiada de matematică, etapa pe sector, 15 februarie 2015

Fie

numere raționale astfel încât

Calculați:

Aflați mai multe »

marți, 17 februarie 2015

Clasa a VII-a , Subiectul I / Olimpiada de matematică, etapa pe sector, 15 februarie 2015

Clasa a VII-a , Subiectul I / Olimpiada de matematică, etapa pe sector, 15 februarie 2015

Determinați numerele raționale x și y care verifică egalitatea:

Aflați mai multe »

joi, 12 februarie 2015

Problema geometrie clasa VIII-a Concurs Lumina Math 2014

Problema geometrie clasa a VIII-a / Concursul Lumina Math 2014

În trapezul ABCD, BC⊥AB, BC⊥CD și AC⊥BD. Știind că

BC are lungimea:

Aflați mai multe »

sâmbătă, 7 februarie 2015

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI A VIII-a /model / rezolvare și barem Subiectul al III-lea

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI A VIII-a /model / rezolvare și barem

Anul școlar 2014 – 2015

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timpul efectiv de lucru este de 2 ore (pentru cele 3 subiecte)

Subiectul al 3 –lea (30 puncte)

1. Figura 2 este schița unui patinoar în formă de dreptunghi ABCD, cu lungimea

și lățimea AB = 30 m. Un patinator pornește din punctul M situate pe latura AB astfel încât BM = 10 m și patinează parallel cu diagonalele dreptunghiului atingând latura BC în N, latura CD în P, latura DA în Q și se întoarce în punctul M.

a) Calculați aria dreptunghiului ABCD.
b) Arătați că m (≮NMQ) = 60^o.
c) Arătați că distanța parcursă de patinator pe traseul M → N → P → Q → M este egală cu 120 m.

Aflați mai multe »