Clasa a VIII-a , Geometrie

Cele mai importante noțiuni de geometrie tratate în probleme

1.  Problemă cu arii de triunghiuri (Lumina Math 2014)
2. Distanța dintre ortocentru și centrul de greutate (Lumina Math 2014) 
3. Problemă cu patrulater inscriptibil (Gazeta matematica nr. 12/2013) 
4. Problemă geometrie (trapez și teorema lui Pitagora) clasa a VII-a / concurs Lumina Math 2014
5. Problemă cu piramidă (evaluare națională 2015/ subiectul nr. 3)
6. Problemă cu dreaptă perpendiculară pe plan, unghi diedru
7. Problemă - teorema celor trei perpendiculare

5 comentarii:

  1. Fie dreptunghiul ABCD cu AB=12 cm,BC=6 cm, E mijlocul lui [AB] si F mijlocul lui [CD].
    Demonstrati ca:
    a) AF_|_DE;
    b) AF||CE;
    c) AF_|_BF.

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Având în vedere mărimile laturilor de 12 și 6, observăm că atunci când desenăm mijloacele E și F ale laturilor AB și CD se vor obține două pătrate AEFD și BCFE cu laturile egale cu 6 cm. În pătratul AEFD avem AF și DE diagonale. Cunoaștem că diagonalele pătratului sunt perpendiculare - deci punctul a este clar.
      Deoarece avem AEFD pătrat, diagonalele lui sunt și bisectoarele vârfurilor, deci unghiul AFD are 45 grade.
      La fel avem și în pătratul BCFE, pentru diagonala CE este și bisectoare, deci unghiul ECFare 45 grade.
      În concluzie AF și CE sunt două drepte pentru care CD este secantă și unghiurile AFD = ECF = 45 grade sunt unghiuri corespondente, deci AF este paralelă cu CE. Punctul b este rezolvat.

      Deoarece avem AEFD pătrat, diagonalele lui sunt și bisectoarele vârfurilor, deci unghiul AFE are 45 grade.
      La fel avem și în pătratul BCFE, pentru diagonala BF care este și bisectoare, deci unghiul BFE are 45 grade. În concluzie unghiul AFB = 45+45 = 90 grade, deci AF este perpendiculară pe BF. Punctul c este rezolvat. Mult succes!

      Ștergere
  2. Fie dreptunghiul ABCD cu AB=12 cm,BC=6 cm, E mijlocul lui [AB] si F mijlocul lui [CD].
    Demonstrati ca:
    a) AF_|_DE;
    b) AF||CE;
    c) AF_|_BF.

    RăspundețiȘtergere
  3. Pe planul triunghiului isoscel ABC,AB=AC=15 cm și BC=18 cm,se ridica perpendiculară AM cu AM de 12√3 .Aflați distanță de la punctul M la dreaptă BC

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. In triunghiul isoscel ABC construim înălțimea din vârful A ducând perpendiculara AD pe latura BC (notăm cu D punctul unde cade perpendiculara pe latura BC). Deoarece triunghiul ABC este isoscel, avem tr. ABD congruent cu tr.ACD. si rezultă că BD = CD. Știm, de altfel, că în triunghiul isoscel înălțimea AD este și mediana dusă din A, mediatoare pentru latura BC și bisectoarea unghiului A. În triunghiul dreptunghic ABD cunoaștem: AB=15 și BD = 9 (jumătate din BC). Putem aplica teorema lui Pitagora și aflăm măsura laturii AD: AD la pătrat=ABla pătrat-BD la pătrat=15 la pătrat-9 la pătrat=225-81=144 Rezultă AD=12cm.
      Avem AM =12 radical din 3 , AM perpendiculară pe planul tr. ABC, AD este inclusă în planul ABC și AD perpendiculară pe BC, BC este și ea inclusă în planul ABC, conform teoremei celor trei perpendiculare rezultă că MD este perpendiculară pe BC. Distanța de la punctul M la dreapta BC se măsoară pe perpendiculara dusă din M pe latura BC, ceea ce înseamnă că această distanță este chiar MD. Pentru a calcula măsura lui MD ne folosim de triunghiul MAD. Acest triunghi MAD este dreptunghic deoarece AM fiind perpendiculară pe planul ABC este perpendiculară pe orice dreaptă din planul ABC, adică și pe AD. DEci unghiul MAD are 90 grade și MD este ipotenuza triunghiului. Cu teorema lui Pitagora calculăm măsura segmentului MD: MD la pătrat = MA la pătrat + AD la pătrat = (12 radical din 3) la pătrat + 12 la pătrat = 144*3 + 144 = 432+144=576. MD = radical din 576 = 24cm.
      (Scuze pentru redactarea răspunsului fără semnele matematice)

      Ștergere