Sinusul şi cosinusul argumentului dublu, triplu şi la jumătate

Sinusul argumentului dublu

(1)      sin 2a = 2 sin a cos a,   pentru orice a număr real

Această formulă se obţine din formula pentru sinusul sumei  sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a, în care considerăm  a = b    şi avem sin (a+a) = sin a cos a + sin a cos a = 2 sin a cos a

Cosinusul argumentului dublu

(2)    cos 2a = cos² a – sin² a

Această formulă se obţine din formula cosinusului sumei  cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b  în care considerăm a = b   cos(a+a) = cos a cos a – sin a sin a = cos^aa – sin²a.

Formula cosinusului argumentului dublu se mai poate scrie şi sub alte forme dacă folosim formula fundamentală sin ² a + cos ² a =1  din care putem să exprimăm   sin a în funcţie de cos a şi invers.

sin² a = 1 – cos²a    şi cos²a = 1 – sin²a

(3)    cos 2a = cos² a – sin² a = 1 - sin²a – sin²a = 1 – 2 sin²a

(4)    sau  cos 2a = cos² a – (1 -cos² a) =  cos²a –1 +cos²a =  2 cos²a - 1

Din relaţia (3)  putem să exprimăm sinusul unui unghi în funcţie de cosinusul argumentului dublu

2sin²a = 1 – cos 2a din care rezultă:

         

Din relaţia (4)  putem să exprimăm cosinusul unui unghi în funcţie de cosinusul argumentului dublu

2 cos²a = 1 + cos 2a din care rezulta:

Dacă înlocuim pe a cu a/2 vom obţine formule în care exprimăm  sinusul şi cosinusul jumătăţii argumentului :

 

Putem să deducem formule pentru argumentul triplu, astfel:

sin 3a = sin a cos 2a + sin 2a cos a = sin a (cos ²a – sin ²a) + 2 sin a cos a cos a =

=sin a cos²a  - sin ³a + 2 sin a cos²a = 3 sin a cos²a – sin ³ a =

=3 sin a (1 – sin²a) – sin³a = 3 sin a – 4 sin³a, pentru orice a real.

cos 3a = cos (a + 2a) =  cos a cos 2a – sin a sin 2a =  cos a (cos²a –sin²a) – sin a 2 sin a cos a =

= cos³a – cos a sin²a – 2 sin²a cos a = cos³a – 3 sin²a cos a =  cos³a -3 (1 – cos ²a) cos a =

=  cos³a – 3 cos a+3cos³a =  4 cos³a -3cos a

 

Exerciţii rezolvate:

Să aplicăm formulele de mai sus şi să calculăm