Problemă cu teorema lui Pitagora / relații metrice în triunghi)- clasa a VII-a

Problemă cu teorema lui Pitagora / relații metrice în triunghi)- clasa a VII-a

În triunghiul ABC, cu AD mediană, D aparținând lui BC. Demonstrați că

(aceasta este teorema medianei)

Rezolvare:

Observăm că relația pe care trebuie să o demonstrăm exprimă mediana triunghiului în funcție de laturile triunghiului AB, AC și BC.

Pentru a demonstra relația dată de problemă, vom construi înălțimea triunghiului AM și notăm:

 

 

Deoarece AD este mediană, conform ipotezei,  rezultă că:  

Pentru a calcula expresia medianei, ne uităm să vedem în ce triunghi dreptunghic o găsim pentru a putea utiliza teorema lui Pitagora. Acest triunghi este AMD.

În triunghiul dreptunghic ADM scriem teorema lui Pitagora:

În acestă relație avem înălțimea AM și segmentul MD. De unde putem să calculăm măsurile acestor segmente în funcție de laturile triunghiului? Observăm că înălțimea apare atât în triunghiul ABM cât și în triunghiul ACM. 

Scriem teorema lui Pitagora în triunghiul ABM și ținem cont că segmentul BM îl putem scrie ca diferență de segmente:

 

Relația (2) devine astfel:

    

Scriem teorema lui Pitagora în triunghiul ACM și ținem cont că segmentul CM îl putem scrie ca sumă de segmente:

 

Relația (5) devine astfel:

Acum egalăm relațiile 4 și 7 :

 

Luăm ultima egalitate și o aducem la o formă mai simplă:  

 

 

Am aflat expreia segmentului MD în funcție de laturile triunghiului.

Introducem această expresie într-una dintre expresiile înălțimii AM, de exemplu în relația 4:

Acum , în relația 1, de calcul a medianei, introducem  relațiile 8 și 9. Obținem:

Ceea ce trebuia demonstrat.