G1. Linii importante în triunghi

1. În triunghiul ABC cu măsura unghiului A de 90^o , bisectoarea unghiului ABC intersectează pe AC în D, iar DE este înălţimea triunghiului BDC. Demonstraţi că:

a)      AE BD

b)      AE ║FC unde F este egal cu AB ∩ DE.

Rezolvare:

Începem prin a analiza datele problemei: ipoteza

Aceste date sunt:

(1) un triunghi ABC cu măsura unghiului A de 90^o , 

(2) BD este bisectoarea unghiului ABC

(3) DE este înălţimea triunghiului BDC.

Ne gândim bine aceste informaţii şi observăm că:

Din ipoteza nr. (1) rezultă că triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în vârful A. Începem să construim figura desenând acest triunghi dreptunghic ABC şi marcăm pe figură cu  un colţ „ ┐” la vârful A unde avem unghiul drept (de 90^o).

Din ipoteza nr. (2) rezultă că BD împarte unghiul ABC în două părţi de măsuri egale (congruente). Această concluzie o vom scrie:

       măsura unghiului ABD = măsura unghiului DBC

                             m ABD = m DBC

Marcăm pe figură prin arce de cerc desenate în vârful B pentru aceste două unghiuri.

Din ipoteza (3) rezultă că în triunghiul BDC, DE este perpendiculară pe  BC. Această concluzie o notăm 

DE BC . Acestă perpendicularitate o desenăm pe figură printr-un colţ „ ┐” la unul din ughiurile formate în punctul E.

 Acum avem totul desenat…toate informaţiile din problemă.

Privim figura cu atenţie ….şi observăm că triunghiurile ABD şi EBD …au ceva în comun!!! Au comun faptul că sunt dreptunghice….apoi ..au comună latura BD…şi mai mult …au două unghiuri cu măsuri egale, deci sunt congruente:

ABD ≡ EBD.

     

Aceste trei observaţii ne conduc la cazul de congruenţă Ipotenuză – Unghi (IU) pentru triunghiurile dreptunghice.

Vom scrie astfel:

      DAB ≡ DEB = 90^o (din ipoteză)

BD latură comună

ABD ≡ EBD.

                          Rezultă   Δ ABD ≡ Δ DEB (triunghiuri congruente)

Dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci şi celelalte elemente ale lor vor fi congruente (deoarece un triunghi are 3 unghiuri si 3 laturi …el are 6 elemente, în congruenţă am folosi 3 elemente : 2 unghiuri şi o latură). Aceste elemente sunt cel de-al treilea unghi si celelalte două laturi….scriem şi aceste congruenţe, deoarece este posibil să ne fie de folos în continuarea problemei).

Acestea sunt:

                AD  ≡  DE          (4)

                BA ≡   BE           (5)

      ADB  ≡     EDB   (6)

Dacă ne uităm atent ..observăm că în relaţia (5) avem o congruenţă care ..ne duce la triunghiul  ABE….acest triunghi are două laturi congruente (AB şi BE) . ..deci este un triunghi isoscel!

BA ≡   BE     rezultă Δ ABE isoscel   deci din proprietăţile triunghiului isoscel…că sunt congruente şi  unghiurile alăturate de laturile congruente!

Scriem astfel: MAB ≡ MEB   (7)

În acest triunghi isoscel BM este bisectoarea unghiului de la vârful triunghiului isoscel. De la proprietăţile liniilor importante din triunghiul isoscel noi ştim că „bisectoarea dusă din vârful triunghiului isoscel este în acelaşi timp mediatoare, mediană şi înălţime”. Acest lucru se vede foarte uşor din faptul că 
Δ ABD ≡ Δ MEB (deoarece  ABD ≡ EBD din ipoteză, relaţia (5) şi relaţia (7) ..deci cazul de congruenţă ULU).

Din Δ ABD ≡ Δ MEB rezultă că şi celelalte elemente ale triunghiurilor sunt congruente : AM  ≡ ME  rezultă că BM este şi mediană

AMB ≡ EMB  dar aceste două unghiuri sunt suplementare (suma lor este de 180^o), rezultă că măsura fiecăruia este de 90^o.  Rezultă că BM este şi înălţime, deci şi mediatoare.

Deoarece  BM este înălţime,  vom scrie BM AE , deoarece B, M, D sunt puncte coliniare, în loc de BM vom putea scrie BD AE . Ceea ce trebuia demonstrat la punctul a.

Pentru punctul b al problemei, continuăm raţionamentul şi observăm în figură că în

Δ BFC avem CA FB , FE BC,  CA ∩ FE = {D} (mulţimea formată din punctul D).

Ceea ce înseamnă că CA şi FE sunt înălţimi şi punctul D este la intersecţia acestor înălţimi. Dar noi ştim că înălţimile într-un triunghi se intersectează într-un punct unic, numit ortocentru. Deci dacă două înălţimi trec prin punctul D atunci obligatoriu şi cea de-a treia linie care trece prin acest punct şi uneşte un vârf al triunghiului cu latura opusă va fi tot înălţime! Deci, BN CF. (8)

BN este pe aceeaşi dreaptă cu BD şi am demonstrat la punctul (a) că BD AE deci putem scrie 

BN AE (9).

Din aceste două relaţii (8) şi (9) rezultă că AE ║FC (avem unghiuri alterne interne cu măsuri de 90^o) . Ceea ce trebuia demonstrat la punctul b.