A3. Aflaţi ultimele două cifre

3. Aflaţi ultimele două cifre ale numărului:

A = 7 + 7² + 7³ + …..+7²⁰¹³ + 7²⁰¹⁴.

Rezolvare:

Calculăm câteva dintre puterile lui 7:

7¹ = 7

7² =  49

7³ = 343

7⁴ = 2401

Înmulţind în continuare cu 7 (7⁵ = 16807....) , se observă că ultima cifră a puterilor lui 7 se repetă din 4 în 4.

Pe de altă parte adunând ultima cifră de la primele 4 puteri ale lui 7 se obţine ultima cifră 0 …şi dacă adunăm valorile primelor patru puteri ale lui 7 se obţine:

7¹ +  7² + 7³ + 7⁴ = 7 + 49 + 343 + 2401 = 2800

Deci suma primelor 4 puteri ale lui 7 este un număr ale cărui ultimele două cifre sunt 0.

Pentru următoarele 4 puteri ale lui 7 :

7⁵ + 7⁶ + 7⁷ + 7⁸  observăm că se poate scoate factor comun 7⁴ astfel:

7⁵ + 7⁶ + 7⁷ + 7⁸   = 7⁴ (7¹ +  7² + 7³ + 7⁴)  = 7⁴ ∙ 2800 care este un număr cu ultimele două cifre egale cu 0.

Grupăm în continuare puterile lui 7 câte 4. Deoarece ultima putere are exponentul 2014 şi acest 2014 este egal cu  4 ∙ 503 + 2 rezultă că vom putea forma 503 grupe în care, cu ajutorul factorului comun, obţinem paranteza (7¹ +  7² + 7³ + 7⁴ ) care este egală cu 2800 şi în concluzie toate aceste 503 grupe adunate vor conduce la un număr care are ultimele două cifre egale cu zero. 

Deoarece rămân în afara grupelor 7²⁰¹³ + 7²⁰¹⁴ acestea vor da ultimele două cifre ale numărului A.

Calculăm astfel:

7²⁰¹³ + 7²⁰¹⁴   = 7²⁰¹² ( 7¹ + 7² ) = 7 ^{4 ∙∙503} ( 7 + 49) = (7⁴)⁵⁰³  ∙ 56 = 2401 ⁵⁰³ ∙ 56

Observăm că 2401 ridicat la orice putere are ultimele două cifre 01  şi prin înmulţirea cu 56 ultimele două cifre vor fi 56.