Test rezolvat pentru pregătire la matematică clasa a VIII-a (varianta 1)

Model de test de pregătire la matematică pentru clasa a VIII-a (al Centrului Naţional de Evaluare şi Examinare / Ministerul Educaţiei Naționale) (rezolvarea după subiectul nr. 3)


(10 puncte din oficiu)
SUBIECTUL I - Pe foaia de examen se vor scrie numai rezultatele. (30 de puncte)
5 puncte
1. Inversul numărului raţional

este egal cu … .
5 puncte
 2. Patru kilograme de gutui costă 16 lei. Un kilogram de gutui de aceeaşi calitate costă ... lei.

5 puncte
 3. Cel mai mic număr natural care împărţit pe rând la 3 şi la 5 dă de fiecare dată restul 2 şi câtul
diferit de zero este egal cu ... .

5 puncte
 4. Un cerc cu raza de 5 cm are lungimea egală cu ... cm .

5 puncte 
5. În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat VABC . Măsura unghiului dintre dreptele AV şi
AC este egală cu … grade .

5 puncte 
6. În graficul de mai jos este reprezentat numărul de elevi dintr-o şcoală, pe grupe de vârstă.
Numărul elevilor din şcoală cu vârsta mai mare sau egală cu 14 ani este egal cu ... .

 

SUBIECTUL al II-lea - Pe foaia de examen se vor scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5 puncte 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghiul echilateral ABC .
5 puncte 2. Determinaţi numerele întregi x , știind că

este număr întreg.

5 puncte
 3. Preţul unei bluze s-a redus cu 10% , iar după reducere bluza costă 162 de lei. Calculaţi preţul
bluzei înainte de reducere.


4. Se consideră funcţia

 unde p şi q sunt numere reale.

5puncte a) Determinaţi numerele reale p şi q , ştiind că f (1) = 1 şi f(2) = -1.

5 puncte b) Pentru p = -2 şi q = 3, reprezentaţi grafic funcţia f în sistemul de coordonate xOy .

5 puncte
5. Se consideră expresia

unde x este număr real,

 Arătați că E(x) =  x+5, pentru orice număr real x , unde

SUBIECTUL al III-lea - Pe foaia de examen se vor scrie rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Figura 2 reprezintă schiţa unei camere în formă de dreptunghi ABCD cu aria de 2 48 m . Se ştie că
lăţimea reprezintă  3/4 din lungimea camerei. În interiorul camerei se află un şemineu, reprezentat în
schiţă de pătratul MNPD cu latura de 1 m. Se montează parchet în cameră, exceptând suprafaţa
haşurată.

5 puncte 
a) Calculați lungimea camerei.
5 puncte 
b) Știind că pierderile de material reprezintă 10% din suprafaţa ce va fi acoperită cu parchet, arătați că
este necesar să se cumpere 2 51,7 m de parchet.
5 puncte 
c) Parchetul se vinde ambalat în cutii care conțin fiecare câte 2 2,5m de parchet. Prețul fiecărei cutii
cu parchet este 135 de lei. Determinați suma minimă necesară pentru cumpărarea parchetului.

2. În Figura 3 este reprezentat schematic un acvariu în formă de prismă dreaptă, cu baza pătrat, care
are latura bazei de 8 dm şi muchia laterală de 5 dm. Feţele laterale ale acvariului sunt confecţionate
din sticlă. Baza acvariului este confecţionată dintr-un alt material. Acvariul nu se acoperă. În acvariu
se află apă până la înălţimea de 4 dm (se neglijează grosimea sticlei).
Figura 3
5 puncte a) Calculaţi câţi litri de apă sunt în acvariu.
5 puncte b) Calculați câți metri pătraţi de sticlă sunt necesari pentru confecţionarea a 100 de acvarii care au
dimensiunile precizate în enunţ.
5 puncte c) Arătaţi că, în orice moment, distanţa dintre doi peşti din acvariu este mai mică sau egală cu 12 dm.

REZOLVARE:

SUBIECTUL I

5 puncte

1. Inversul numărului raţional scris sub formă de fracție ordinară se obține răsturnând fracția și numitorul devine numărător, iar numărătorul devine numitor. Deci inversul numărului rațional este fracția ordinară:

Soluție:

5p

2. Dacă patru kilograme de gutui costă 16 lei, un kilogram de gutui de aceeaşi calitate costă

16: 4 = 4 lei.

Soluție:  4

5p

 3. Folosind teorema împărțirii cu rest (deîmpărțitul este egal cu împărțitorul înmulțit cu câtul plus restul) avem:

N: 3 = C₁ și rest 2, N = 3 C₁ + 2 , rezultă  N -2 = 3 C₁ 

N: 5 = C₂ și rest 2,  N = 3 C₂  + 2, rezultă  N-2 = 5 C₂

Din ultimele două relații înțelegem că N-2 este multiplu de 3 și multiplu de 5. Altfel spus

(N-2 va fi divizibil prin produsul dintre 3 și 5)

Cel mai mic număr divizibil cu 15 este 15. Rezultă N-2 = 15 și N=17

Soluție:   17

 5puncte

4. Lungimea cercului este egală cu

5 puncte

5. Tetraedrul regulat este piramida regulată cu baza un triunghi echilateral (poligonul regulat cu trei laturi) și toate fețele laterale triunghiuri echilaterale. Toate muchiile laterale ale tetraedrului sunt congruente între ele. Triunghiul VAC este o un triunghi echilateral și unghiul dintre dreptele AV și AC este unghiul VAC egal cu 60 grade.

5 puncte

6. În grafic copii cu vârsta de 14 ani sunt în număr de 40 și cei de 15 sunt 30. Rezultă că numărul elevilor din şcoală cu vârsta mai mare sau egală cu 14 ani este egal cu 40 + 30 = 70.

Soluție: 70

SUBIECTUL al II-lea - Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. (30 de puncte)

5 puncte

 1.

  Se desenează pe foaia de examen, o prismă dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghiul echilateral ABC și apoi notăm laturile egale ale triunghiului echilateral cu liteara a (pentru evidențierea în figură a triunghiului echilateral).

5 puncte

2.

 

2x -1 = -11  = >   2x = 1 -11 = -10  =>  x = -5,

2x – 1 = -1  =>    2x = 1 – 1 = 0   =>  x = 0

2x -1 = +1  =>   2x = 1 + 1 = +2  =>  x =  1

2x  - 1  = +11   2x = +1 +11 = + 12  =>  x = +6

Soluție 

5 puncte

3. Notăm cu x prețul inițial al bluzei. Reducerea prețului cu 10% din prețul bluzei  o vom nota prin operația de înmulțire a procentului de 10% cu prețul bluzei, iar procentul îl scriem sub formă de fracție, cu numitorul 100. Astfel avem:

După reducere prețul bluzei devine 162, astfel avem ecuația:

 

Aducem la același numitor și facem calculele:

100 x – 10 x = 16200  => 90 x = 16200  => x = 16200: 90 = 180 lei

Soluția =>  180 lei

 

4. Se consideră funcţia f : R -> R , f (x) =  px+ q , unde p şi q sunt numere reale.

5puncte 

a ) 

Determinaţi numerele reale p şi q , ştiind că f (1) = 1 şi f(2) = -1.

În expresia funcției f(x) înlocuim valoarea lui x cu 1 și calculăm:

Deoarece problema ne spune că f(1) = 1, folosim relația de mai sus și scriem ecuația:     

      p + q = 1       (1)

Apoi înlocuim în expresia funcției f(x) valoarea lui x cu 2.

 

Din datele problemei f(2) = -1.

Scriem ecuația: 

                                 2p + q = -1       (2)

Relațiile 1 și 2 le punem în sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute și rezolvăm:

  Soluție:   p = -2, q = 3  

5 puncte

b)

 Pentru p = -2 şi q= 3, reprezentaţi grafic funcţia f în sistemul de coordonate xOy .
Pentru a desena graficul funcției aflăm punctele în care graficul intersectează axele de coordonate.
Acestea sunt:
               - M punctul de intersecție a graficului cu axa Ox are  coordonatele x_M  și y_M  

Deoarece punctul M se află pe axa Ox ordonata y_M a acestuia este egală cu zero:

y_M = 0 ;

Deoarece punctual M se află și pe graficul funcției, coordonatele lui verifică expresia funcției. Astfel avem:

y_M = -2x_M + 3 .

În această ecuație înlocuim y_M cu valoarea zero și obținem:

0 = -2 x_M + 3  

2x_M  = +3

x_M  = +3/2 = 1,5

Astfel avem punctul M (+1,5 ; 0)

    _-    N  punctul de intersecție a graficului cu axa Oy are coordonatele x_N  și y_{N .}

Deoarece punctul N se află pe axa Oy ordonata x_N a acestuia este egală cu zero:

x_N = 0 ;

Deoarece punctul N se află și pe graficul funcției, coordonatele lui verifică expresia funcției. Astfel avem:

y_N = -2x_N + 3 .

În această ecuație înlocuim x_N cu valoarea zero și obținem:

y_N = (-2)(0) + 3  

y_N  = +3

Astfel avem punctul N( 0 ; +3)

-       Construim tabelul de variație a funcției f(x) = -2x +3:

x	0               1,5
f(x)	+3              0

x = 0     =>   f(0) =   (-2) 0 +3 = 0+3 = +3

x= +1,5  =>  f(+1,5) = (-2) (+1,5) +3 = -3 +3 = 0

Deoarece graficul este o dreapta, doua puncte ne sunt suficiente pentru a desena graficul functiei.

 

5 puncte

 5.

Aducem expresia la forma cea mai simplă efectuând pe rând calculele:

Rezolvare SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

5p a) Calculați lungimea camerei.

Aria dreptunghiului este egală 48 m² . 

Formula ariei este:

 

Unde AB este lungimea și BC este lățimea.

Problema ne spune că lățimea este 3 / 4 din lungimea camerei:

Înlocuim în expresia ariei și obținem:

5p b)

Aria MNPQ este de 1 m². Suprafața care se acoperă cu parchet este de 48 – 1 = 47m².

Pierderile de material reprezintă 10% din suprafaţa ce va fi acoperită cu parchet:  

Pentru a acoperi cu parchet suprafața de 47 m²   este necesar sî se cumpere în plus cantitatea de 4,7 m² care o constituie pierderile la tăierea materialului.

În total se vor cumpăra:   47 + 4,7 = 51,7 m²  de parchet.

5 puncte

 c)

Deoarece parchetul se vinde ambalat în cutii care conțin fiecare câte  2,5m² de parchet vom afla câte cutii de parchet sunt necesare:

51,7 : 2,5 = 20,68 cutii.

Numărul de cutii trebnuie să fie un număr întreg. Primul număr întreg mai mare decât 20,68 este 21 . Deci numărul minim de cutii de parchet care trebuie cumpărat este de 21, iar suma minimă necesară pentru cumpărarea parchetului este:

21·135 lei = 2835 lei

3. 

5 puncte

a) Volumul ocupat de apă este egal cu 

V_apă = 8· 8· 4 = 256 dm³ = 256 litri apă

Ținem cont că 1 dm³ = 1 litru.

Soluție: 256 litri apă

5 puncte

 b)

Deoarece sticlă se folosește numai pentru pereții laterali ai acvariului, necesarul de sticlă pentru confecționarea unui acvariu îl calculăm aflând aria laterală a acvariului (este vorba de un paralelipiped dreptunghic).

A _laterală = P_bazei  · h   (Aria laterală a prismei = Perimetrul bazei ·înălțimea prismei).

P_bazei  = 4 ·  8 dm = 32 dm.

h=  5 dm,

A _laterală = 32 ·  5 = 160 dm² = 1,6 m².

Necesarul de sticlă pentru un acvariu este de  1,6 m² , iar pentru 100 de acvarii este de:

1,6 ·  100 =  160 m² .

Soluție: 160 m²

5p c) 

Distanța cea mai mare dintre doi pești din acvariu este atunci când peștii sunt în colțurile opuse ale celor două baze ale zonei umplute cu apă a acvariului ABCD A”B”C”D”. Această distanță este egală cu diagonala paralelipipedului dreptunghic, de exemplu AC” .