Test de evaluare la matematică, semestru I, clasa a V-a

                                      1.       Calculați

                                 pentru:
                               a)    

                                                         a = 5² – 4² ; b = 4¹⁰ : 4⁹ -4⁰;

                               b)    

                                                           a = 2,4; b = 1,6;

                                c)    

 

2.       Determinați valoarea de adevăr a propozițiilor:

      a) Mulțimea 

       

are 4 numere raționale pozitive.

b) 0 ∈ Ø;

c) 57 ∈ { 19k / k∈ N};

d)  5 / 553.

 

     3)   Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile: a = 10 cm, b = 1,2 dm, c = 0,08 m. Calculați ariile fețelor paralelipipedului și volumul acestuia. Încape un litru de apă în acest paralelipiped?
         4)   Scrieți toate numerele de forma  , cu x cifră.


Rezolvare:

1)

 a)     a = 5² – 4² ; b = 4¹⁰ : 4⁹ -4⁰;

Mai întâi să vedem care sunt valorile lui a și b.

Astfel : a =  5² – 4² = 5∙5-4∙4= 25 – 16 = 9 și

b = 4¹⁰ : 4⁹ -4⁰ = 4^10-9 -4⁰ = 4¹ – 1  = 4-1 = 3 (aplicăm proprietatea  calculului cu puteri:

 a^m: aⁿ = a^m-n , unde avem împărțirea a două puteri cu aceeași bază și rezultatul se obține prin scăderea exponenților ). Acum putem să facem calculele:

a+b = 9+3 = 12, a-b = 9-3 = 6, a∙b = 9∙3 = 27, a/b = 9:3 = 3.

b) a = 2,4; b = 1,6. Pentru numere fracții zecimale, facem direct calculele:

a+b = 2,4 + 1,6 = 4,0 = 4;  a-b = 2,4 – 1,6 = 0,8;  a∙b = 2,4 ∙1,6 =    3,84 (facem înmulțirea lui 24 cu 16 și obținem  384, apoi punem virgula peste 2 cifre, numărând de la dreapta spre stânga, deoarece avem două cifre in zecimalele celor două numere) și a: b = 2,4 : 1,6 = 1,5.

 

 

 

c) Pentru fracțiile ordinare, folosim aducerea la același numitor. Pentru a afla numitorul comun al celor două fracții, observăm că 

8 = 2³ și 10 = 2∙5 . Numitorul comun este egal cu cel mai mic multiplu comun al celor două numere. Știm că: C.m.m.m.c = toți factorii comuni și necomuni ai celor două numere, luați o singură data, la puterea cea mai mare. Rezultă, numitorul comun = 2³ ∙5 = 40. Vom amplifica (cu alte cuvinte, înmulțim și numărătorul și numitorul fracției cu același număr) prima fracție cu 5 și cea de-a două fracție cu 4. Rezultă următoarele:

 

Pentru înmulțirea a două fracții, înmulțim corespunzător numărătorii între ei și numitorii între ei, apoi facem simplificările necesare.


Pentru împărțirea a două fracții, știm că, o transformăm în înmulțire cu fracția răsturnată (împărțitorul este fracția pe care o scriem răsturnată), apoi facem simplificările necesare.

2. Prin valoarea de adevăr a propozițiilor, înțelegem să determinăm dacă acestea sunt adevărate sau false.

 

 

a) Mulțimea

are 4 numere raționale pozitive?

Numărul rational este acel număr care poate fi exprimat printr-o fracție ordinară. Obesrvăm că mulțimea data are 5 fracții ordinare și un număr întreg care poate fi exprimat printr-o fracție ordinară cu numitor 1. Deci toate cele șase numere din mulțime sunt numere rationale și toate sunt positive. Rezultă că propoziția este falsă.

       
         b) 0∈ Ø; Numărul zero este un număr care există pe axa numerelor și este considerat ca element al mulțimii numerelor. Mulțimea vidă este mulțimea care nu conține nici un element. Rezultă că propoziția este falsă.

c) 57 ∈ { 19k / k∈ N}; Numărul 57 = 3∙19 și mulțimea care are ca elemente multiplii numărului 19 este compusă din următoarele elemente: 0 (pentru k = 0), 19 (pentru k=1), 38 (pentru k=2), 57 (pentru k = 3), 76 (pentru k = 4) și așa mai departe. Rezultă că numărul 57 aparține mulțimii formate din numerele de forma 19k, k fiind orice număr natural. Deci propoziția data este adevărată.

d)  5 / 553. Numărul 5 îl divide pe 553 este propoziție falsă, deoarece ultima cifră a numărului 553 nu este 0 sau 5, așa cum spune criteriul de divizibilitate cu 5.

 

3. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile: l = 10 cm, L = 1,2 dm, H = 0,08 m. Calculați ariile fețelor paralelipipedului și volumul acestuia. Încape un litru de apă în acest paralelipiped?

Paralelipipedul dreptunghic este corpul geometric care are toate fețele dreptunghiuri. Fețele opuse sunt dreptunghiuri, două câte două, egale între ele.

Două dreptunghiuri au laturile L și l, alte două au laturile L și H și alte două au laturile l și H.

Observăm că laturile sunt exprimate în unități de măsură diferite. Pentru a efectua calculele avem nevoie de o aceeași unitate de măsură. Alegem centimetrul și facem transformările. Astfel:

L = 1,2 dm = 12 cm, iar H = 0,08m = 8 cm.

Pentru calculul ariilor: avem două dreptunghiuri de laturi L și l care au arie A = L ∙l = 12∙10 = 120 cm2. Alte două dreptunghiuri de laturi L și H care au arie A = L∙H = 12∙8 = 96 cm2 și alte două dreptunghiuri de laturi H și l care au arie A = 8 ∙10 = 80 cm2.

 Volumul paralelipipedului V = L ∙l∙H = 12∙10∙8 = 960 cm3 .

Deoarece litrul, unitatea de măsură pentru capacitate, este egal cu 1 decimetru cub:

1 l = 1 dm3 = 1000 cm3, observăm că, paralelipipedul având doar 960 cm3 este mai mic ca volum și, ca urmare, un litru de apă nu intră în acest paralelipiped.
 
4.       Pentru a avea doar numere naturale, înseamnă că fracția

trebuie să fie număr natural, altfel spus, numărătorul trebuie să se împartă exact la numitor. Rezultă că numărul 567x (unde x este cifra unităților a acestui număr) trebuie să fie divizibil cu 5. Criteriul de divizibilitate cu 5 ne spune că ultima cifră a numărului (= cifra unităților) trebuie să fie 0 sau 5 pentru ca numărul să fie divizibil cu 5.  

Deci x∈ {0; 5} => x = 0 sau x = 5.

Numerele sunt:

5670/5 = 1134 ∈ N  și    5675/5 = 1135 ∈ N.