Problemă cu triunghi înscris în cerc

Triunghiul ABC este înscris în cercul de centru O. Știind că

și BC = 24, calculați:
a) m(∡BAC);
b) lungimile laturilor [AB] și [AC],
c) aria triunghiului ABC;
d) raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Rezolvare:

Construim figura.

 a)  Din datele problemei cunoaștem măsurile arcelor AB și AC, care sunt de 60 grade.
Deoarece A, B și C sunt puncte situate pe cerc, unghiurile ACB și ABC sunt unghiuri care au vârfurile situate pe cerc și laturile unghiurilor sunt coarde ale cercului. Cunoaștem că măsura unui unghi care are vârful pe cerc este egală cu jumătate din măsura arcului de cerc subîntins între laturile unghiului. Astfel putem nota:

  Astfel în triunghiul ABC putem calcula măsura unghiului BAC (știind că suma unghiurilor unui triunghi este de 180 grade)

m (∡BAC) = 180⁰ – 30⁰ – 30⁰ = 120⁰

b) În triunghiul ABC cunoaștem unghiurile și latura BC = 24 cm. Deoarece două unghiuri sunt egale cu 30 grade, rezultă că triunghiul este isoscel. Ducând înălțimea AD se vor forma două triunghiuri dreptunghice ABD și ACD fiecare dintre ele având câte un unghi de 30 de grade și catetele BD = DC = 24/2 = 12.
aplicăm funcția trigonometrică cosiuns:

cos (∡ABC) = cos (30⁰)=cateta alăturată / ipotenuză = BD / AB = 12 / AB  
și cos (∡ACB) = cos (30⁰)=cateta alăturată / ipotenuză = CD / AC = 12 / AC  rezultă că 

c) Pentru a calcula aria triunghiului ABC avem nevoie să cunoaștem baza și înălțimea lui. Baza o putem considera pe BC, care este de 24 și înălțimea AD. În triunghiul ABD , observăm că AD este latura care se opune unghiului de 30 de grade. Deoarece știm că în triunghiul dreptunghic, latura care se opune unghiului de 30 de grade este jumătate din ipotenuză, rezultă că AD = AB/2
 

 

 d) Pentru a calcula raza cercului circumscris triunghiului ABC, observăm următoarele:

Arcul AB are măsura de 60 grade , unghiul AOB este un unghi la centru și, deoarece măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului subîntins între laturile unghiului , rezultă că:
m(∡ AOB) = 60 grade .
Triunghiul AOB este un triunghi isoscel cu laturile egale AO = BO = Raza cercului circumscris și cu un unghi de 60 de grade. Din aceste observații, rezultă că triunghiul AOB este echilateral și:
 AO = BO = AB = R (raza cercului circumscris triunghiului).

Rezultă că:




FORMULE PENTRU ARIE / triunghi, dreptunghi, paralelogram, romb

FORMULE PENTRU ARIE / triunghi, dreptunghi, paralelogram, romb

Aria unui triunghi echilateral ABC, în care notăm laturile 

Aria unui triunghi ABC când cunoaștem două laturi și unghiul dintre ele:

Dacă laturile triunghiului ABC sunt:  AB = c, AC = b și BC = a

                                                                             sau

 

sau

 

Formula lui Heron.

Aria triunghiului când cunoaștem mărimile celor trei laturi a, b, c:

Calculăm perimetrul triunghiului:  P = a +b +c  , apoi calculăm semiperimetrul (care se notează cu p).

Calculăm aria cu ajutorul formulei lui Heron:

Aria dreptunghiului ABCD când cunoaștem diagonalele și măsura unghiului ascuțit dintre ele

(măsura unghiului AOD:   m (∡ u)  < 90^o, unde O este punctul de intersecție a diagonalelor)

:

 

Dacă ABCD este un paralelogram  ABCD, cu laturile AB = CD = a , BC = AD = b și unghiul DAB mai mic de 90^o :   m(∡DAB) < 90^o

Avem aria dreptunghiului:

A_ABCD  = AB ∙ AD ∙ sin (∡ DAB) .

Sau, dacă cunoaștem diagonalele și unghiul ascuțit dintre ele, aplicăm formula (ca la dreptunghi):

 

Dacă ABCD este romb (caz particular de paralelogram, cu toate laturile egale.Rombul are diagonalele perpendiculare)

A_ABCD = AB² sin (∡A);

sau