4. Determinaţi numărul natural care satisface simultan
condiţiile:
a) împărţit
la 4, dă restul 3,
b)
împărţit la 10, dă restul 1;
c)
împărţit la 12, dă restul 3;
d)
suma
câturilor celor trei împărţiri de la punctele a), b) şi c) este mai mare cu 16 decât
o treime din numărul dat.
Rezolvare:
În această
problemă se utilizează teorema împărţirii cu rest.
Acestă teoremă
spune: Deîmpărţitul este egal cu produsul dintre împărţitor şi cât la care se
adună restul:
D = Î ∙ C + R
D = Î ∙ C + R
Dacă notăm numărul
pe care trebuie să îl determinăm cu litera D şi aplicăm teorema de mai sus vom
putea scrie condiţiile problemei astfel:
a) D = 4 ∙ C1 + 3
b) D = 10 ∙ C2 + 1
c) D = 12 ∙ C3 + 3
Deoarece avem
trei împărţiri diferite şi câturile lor vor fi diferite. Deoarece nu le
cunoaştem, le-am notat cu C1, C2
şi C3 .
Pentru condiţia
d) vom scrie: C1 + C2 + C3 = D / 3 + 16
(suma celor trei câturi este mai mare cu
16 decât o treime din numărul dat) )
Din relaţiile a) , b) şi c) scoatem câturile C1, C2 și C3 astfel:
a) D = 4 ∙ C1 + 3
D – 3 = 4 ∙ C1
C1 = (D-3) / 4
b) D =
10 ∙ C2 + 1
D – 1 = 10 ∙ C2
C2= (D-1) / 10
c) D = 12 ∙ C3 + 3
D – 3 = 12 ∙ C3
C3= (D-3) / 12
Expresiile obținute pentru C1, C2 și C3 înlocuim în
condiţia d) după are facem toate calculele:
(D-3) / 4 + (D – 1) / 10 + (D – 3) / 3 = D /3 + 16
Numitorul comun
al acestor fracţii:
4 = 22
10 = 2 ∙5
12 = 22
∙3
3 = 3
-------------
Numitorul comun =
22 ∙3 ∙5 = 60 (din descompunerile
în factori primi ale fiecărui numitor luăm, o singură dată, factorii comuni şi necomuni
la puterea cea mai mare).
Amplificăm
fiecare fracţie cu cantitatea neceasră pentru a ajunge la 60 : prima cu 15, a
doua cu 6, a treia cu 5, a patra cu 20 şi termenul liber (numărul întreg) cu 60
şi obţinem:
15 (D-3) + 6
(D-1) + 5 (D-3) = 20 D +16∙60
15 D -45 + 6 D -6
+ 5 D – 15 = 20 D +960
26 D – 20 D = 960
+ 45 + 6 + 15
6 D = 1026
D = 171
Soluţia : Numărul
cerut este 171.
