Calculați valoarea raportului

Exercițiu de la concursul național Lumina Math 2014, clasa a 8-a


             

Dacă   atunci valoarea raportului    este egală cu: 

Demonstrați inegalitatea cu numere raționale

Se notează cu a numărul rațional

 

 și se consideră un număr natural k diferit de zero.
Demonstrați că:

a) 

 b)

 c)

Rezolvare:
a) Pentru a demonstra această egalitate observăm că numitorul comun al fracțiilor este k(k+1) și amplificăm fracțiile din partea stângă, prima cu (k+1) și a doua cu k. Făcând calculele se obține fracția din partea dreaptă.

 

Reținem de aici că fracția din dreapta, care este o fracție cu numărător 1 și numitor un produs de două numere consecutive, o putem descompune în diferența a două fracții cu numărători 1 și numitori cele două numere consecutive! Foarte important!

b) Pentru a demonstra inegalitatea efectuăm înmulțirile, trecem termenii din stânga în partea dreaptă cu semn schimbat și apoi efectuăm scăderile.

,       =>

 Rezultatul k+1 > 0 este adevărat pentru orice k număr natural (numerele naturale sunt pozitive și prin adunarea numerelor pozitive se obține tot un număr pozitiv.

 c) Pentru a demonstra inegalitatea cu modul ]ncepem prin a explicita acest modul:

 În cazul I, la prima formă a modulului

inegalitatea arată astfel:  0,99 -a < 1 =>  a  > 0,99 -1  =>  a > -0,01 acest rezultat este adevărat deoarece, în forma în care este dat de problemă numărul rațional a, el este o sumă de pătrate ale unor numere raționale. Deoarece întotdeauna un număr ridicat la pătrat este pozitiv și suma de pătrate are o valoare pozitivă. 

În cazul II, la cea de-a doua formă a modulului

 inegalitatea arată astfel: a - 0,99 < 1  =>  a < 1,99
Pentru a demonstra că valoarea numărului rațional a este întotdeauna mai mică de 1,99 ne folosim de expresiile demonstrate la punctele a și b ale problemei.  Astfel, relația de la punctul b) o transformăm astfel încât să obținem răsturnatul fiecărui număr din inegalitate. Împărțim toată inegalitatea pe rând întâi prin membrul drept și apoi prin membrul stâng și efectuăm simplificările :

 Apoi ne folosim și de relația de la punctul a) al problemei prin care o fracție cu numărător 1 și numitor un produs de două numere consecutive o putem descompune în diferența a două fracții cu numărători 1 și numitori cele două numere consecutive

 Ne folosim de acestă inegalitate și dăm valori numărului natural k de la 1 până la 99 și scriem toate inegalitățile una sub cealaltă. Obținem următoarele:

 Observăm că prin adunarea termenilor din partea stângă obținem expresia numărului rațional a mai puțin numărul 1, iar prin adunarea termenilor din partea dreaptă se reduc doi câte doi termenii cu semn opus și rămân doar 1 - 1/100 . Adunăm atât în stânga cât și în dreapta numărul 1 și se obține:

 

Rezultatul este ceea ce cerea problema să demonstrăm pentru al doilea caz al modulului : a < 1,99.

Rezolvați în mulțimea numerelor raționale ecuația

Rezolvați în mulțimea numerelor raționale ecuația:
 

Rezolvare:

Separăm fracțiile ordinare trecând fiecare termen al sumelor de la numărător cu numitorul corespunzător și totodată grupăm toți termenii care conțin necunoscuta  x.

 De la toți termenii care conțin 2x dăm această parte comună 2x factor comun și toți termenii liberi (care nu îl conțin pe x) îi trecem în partea dreaptă cu semn schimbat. Observăm că trecem în partea dreaptă cu semn schimbat un număr de n fracții deoarece numărătorii sunt în ordine de la 1 până la n. Numărul n care se află în partea dreaptă îl putem scrie ca o adunare repetată a numărului 1 astfel
n = 1+1+1+1+..+1 de n ori acest 1.

Acum putem grupa în partea dreaptă câte un  1 cu o fracție din paranteză.

Operăm scăderile în partea dreaptă și observăm că obținem exact paranteza care este în partea stângă înmulțită cu 2x.

 

Soluția ecuației este x = 1/2.