Problemă cu arii (triunghi și pătrat)

Geometrie clasa a VII-a

Fie ABCD un pătrat în care

 unde M este mijlocul lui AB, iar

Dacă    A_ABCD  = 432 cm², aflaţi aria triunghiului MNO.

Problema cu romb si coliniaritate

Geometrie clasa a 7-a

În exteriorul rombului ABCD cu măsura unghiului A de 60 grade se construiesc pătratul BCEF şi dreptunghiul ABNM  cu latura AM = 2 AB. Arătaţi că punctele N, F, E sunt coliniare şi că NB = 2 BD.

Problemă cu trapez și pătrat

Trapezul dreptunghic ABCD cu AB II CD, cu m (≮A) = m(≮D)= 90^o are AD = 12 cm AB=24 cm și m (≮B)=45^o.

Se notează  AD ∩ BC = {M}.

Se cere:   a) Arătați natura și aria Δ MAB;  b) Arătați că AC ⊥ BC;  
c)Știind că
CE II AD ,

 
arătați că [DE] ≡ [AC] și DE ⊥ AC 

Rezolvare:

Din datele problemei observăm că Δ MAB are:

 m (≮A) = 90^o și m (≮B)=45^o

m (≮ M) = 180^o – 90^o – 45^o = 45^o

Un astfel de triunghi este dreptunghic isoscel.

Într-un triunghi isoscel laturile opuse unghiurilor congruente sunt congruente.

Deci:  AB = AM = 24 cm.

B)  AD = 12 cm, AM = 24 cm rezultă DM = 12 cm

Δ MDC are:  m (≮CDM) = 90^o și m (≮DMC)=45^o

m (≮ DCM) = 180^o – 90^o – 45^o = 45^o

Rezultă că Δ MDC este dreptunghic isoscel  deci 

MD=DC=12 cm.

Δ ADC are:  m (≮CDA) = 90^o  și AD=DC=12 cm.

Rezultă că Δ ADC este dreptunghic isoscel deci și unghiurile sunt: m (≮DAC)= m (≮DCA)=45^o

Acum calculăm măsura unghiului ACM:

m (≮ACM)= m (≮DCA)+ m (≮DCM)= 45^o + 45^o= 90^o

deci: AC ⊥ BC

c) Construim CE II AD , E (AB)  și AD⊥AB, rezultă că CE ⊥ AB,

m (≮DCA) = m (≮CAE) = 45 grade
Rezultă că CD II AE rezultă că AECD este paralelogram cu unghiuri de 90 grade  deci este un dreptunghi care are laturile alăturate egale AD =CD=12 cm, adică un pătrat.

AECD fiind un pătrat are diagonalele AC și DE congruente și perpendiculare AC ⊥ DE.

Subiectul 3.2 / evaluare naţională 2013-2014 - Clasa a VIII-a

3.2 În figura este reprezentat schematic un acvariu în formă de prismă dreaptă cu baza un pătrat, care are latura bazei de 8 dm şi muchia laterală de 5 dm. Feţele laterale ale acvariului sunt confecţionate din sticlă. Baza acvariului este confecţionată dintr-un alt material. Acvariul nu se acoperă. În acvariu se află apă până la înălţimea de 4 dm (se neglijează grosimea sticlei) .

a)      Calculaţi câţi litri de apă sunt în acvariu;

b)      Calculaţi câţi metri pătraţi de sticlă sunt necesari pentru a confecţiona 100 de acvarii, care au dimensiunile precizate în enunţ;

c)      Arătaţi că, în orice moment, distanţa dintre doi peşti este mai mică sau egală cu 12 dm.

Rezolvare:

Ne amintim:
Noţiunea de prismă – prisma este un corp geometric (poliedru) mărginit de feţe plane, dintre care două poligonale sunt egale (congruente) şi paralele şi se numesc baze, iar celelalte în formă de paralelograme, formează feţele laterale. Totodată muchiile laterale ale prismei sunt paralele între ele. Înălţimea prismei este egală cu distanţa dintre planele bazelor. Aria bazei prismei este egală cu aria poligonului care este la bază. Aria laterală a prismei este egală cu suma ariilor paralelogramelor feţelor laterale.

Când prisma este dreaptă, este un caz particular, feţele laterale sunt dreptunghiuri şi acestea sunt în plane perpendiculare pe bazele prismei. La prisma dreaptă înălţimea prismei este egală cu muchia laterală. Aria laterală a prismei drepte este egală cu perimetrul bazei înmulţit cu înălţimea prismei (=muchia laterală).

Volumul prismei este egal cu aria bazei înmulţită cu înălţimea prismei.

Cum rezolvăm:

a)      Baza prismei este un pătrat cu latura de 8 dm (decimetri). Deci aria bazei este.

A_ABCD  = 8² = 64 dm²

Muchia laterală este de 5 dm dar apa din acvariu se ridică până la înălţimea de     AM = h = 4dm.

Volumul de apă din acvariu: V = A_ABCD ∙ h = 64 ∙ 4 = 256 dm³.    Soluție V= 256 dm^3.

Deoarece 1 dm³ = 1 litru volumul de apă în litri este de 256 litri.

b)      Pentru a calcula câţi metri pătraţi de sticlă sunt necesari la confecţionarea unui acvariu, avem nevoie să calculăm aria laterală a acestei prisme, deoarece problema spune că baza acvariului se confecţionează din alt material iar sus, acvariul rămâne descoperit. Aria laterală este constituiă din ariile celor 4 pereţi  ai acvariului care sunt dreptunghiuri egale (o latură de 8 dm de la bază şi înălţimea de 5 dm de la înălţimea acvariului)

A_lat  = P_ABCD ∙ AA’  = 4 ∙ 8 dm ∙ 5 dm = 160 dm² de sticlă

Pentru 100 de acvarii este necesară o cantitate de 100∙ 160 dm² = 16 000 dm² sticlă.

Deoarece problema cere exprimare în metri pătraţi, vom face transformarea unităţii de măsură astfel:

1 m² = 100 dm² rezultă că 1 dm²  =  0,01 m².

Necesarul de sticlă este egal cu = 16000 dm² = 0,01 ∙ 16000 m² = 160 m² de sticlă.
  Soluție: 160 m² de sticlă

c)      La acest punct se cere să arătăm că, în orice moment distanţa dintre doi peşti, este mai mică sau egală cu 12 dm.

Înţelegem că distanţa dintre doi peşti nu poate fi mai mare de 12 dm…Deci cât de depărtaţi pot sta doi peşti în acvariu?…Cea mai mare distanţă între două puncte ale prismei (corespunzătoare volumului de apă) este pe diagonala prismei care poate fi AM (cu M am notat nivelul apei din acvariu AM = h = 4 dm)

AM ² = AB ²  + BC² + h² = 8² + 8² + 4² =  144 dm² . De unde prin extragerea radicalului rezultă că  AM = 12 dm.

Distanţa dintre doi peşti este întotdeauna mai mică sau cel mult egală cu 12 dm

D ≤ 12 dm

Subiectul 3- evaluarea naţională 2013-2014 clasa a VIII-a

Problema nr. 1

Figura reprezintă schiţa unei camere în formă de dreptunghi ABCD cu aria de 48 m². Se ştie că lăţimea reprezintă ¾ din lungimea camerei. În interiorul camerei se află un şemineu (o sobă), reprezentat în figură de pătratul MNPD cu latura de 1m. Se montează parchet în cameră exceptând suprafaţa haşurată.

a)      calculaţi lungimea camerei;

b)      ştiind că pierderile de material reprezintă 10% din suprafaţa ce va fi acoperită cu parchet arătaţi că este necesar să se cumpere 51,7 m² de parchet.

c)      Parchetul se vinde ambalat în cutii care conţin fiecare câte 2,5m² de parchet. Preţul fiecărei cutii cu parchet este de 135 lei. Determinaţi suma minimă necesară pentru cumpărarea parchetului.

Rezolvare:

Ipoteza (datele problemei sau ce cunoaştem):

Aria dreptunghiului este de 48 m² şi lăţimea este 3/4  din lungimea camerei.

Concluzie: (ce cere problema) Lungimea camerei

Notăm pentru dreptunghiul ABCD

L – lungimea dreptunghiului ABCD

l  -   lăţimea  dreptunghiului ABCD

Formula ariei dreptunghiului este A_ABCD = L ∙l

Din datele problemei înlocuim valoarea ariei şi obţinem o ecuaţie:

L ∙l = 48      (1)

                                                        

Din datele problemei  avem  l  =    (3/ 4)   ∙  L  ;   Aceasta este cea de-a doua ecuaţie (2) .

                                                       

Avem două ecuaţii care sunt adevărate în acelaşi timp, asta înseamnă că ele formează un sistem de 2 ecuaţii cu 2 necunoscute şi putem să- l rezolvăm prin metoda înlocuirii (a substituţiei).

Înlocuim în ecuaţia (1) expresia lui l din ecuaţia (2) şi obţinem:

L ∙ (3/4) ∙  L = 48

L² ∙ 3 = 48∙ 4

L² ∙ 3 = 192

L²  = 192 : 3 = 64 se extrage radicalul din 64 şi rezultă

L =  8 m

b )  Valoarea lăţimii va fi egală cu (3/4) ∙  L = (3/4) ∙  8 = 3∙  2 = 6 m

La punctul b) se spune că doar suprafaţa liberă se acoperă cu parchet…deci aria haşurată a pătratului ocupată de şemineu ..trebuie scăzută din aria totală a dreptunghiului. Aria pătrtului este A_MNPD  = MD² unde MD este latura pătratului egală cu 1m. Rezultă:

A_MNPD  = 1 m²

Deci suprafaţa care se acoperă cu parchet este A_ABCD – A_MNPD = 48 – 1 = 47 m².

Pentru acoperirea cu parchet se folosesc 47 m² de parchet ..dar problema spune că sunt şi 10% pierderi din suprafaţa totală care se acoperă cu parchet  . Rezultă că pierderile reprezintă 10% ∙ 47 m² = 0,1 ∙ 47 m²  = 4,7 m².

Deoarece există pierderi de material (pierderile apar la tăierea plăcilor de parchet) când se cumpără cantitatea necesară de parchet este nevoie să cumpărăm mai mult pentru ca să ne asigurăm ..că după ce se pierd unele bucăţi din plăcile de material ne rămâne suficient material pentru a acoperi camera cu parchet. Deci trebuie cumpărată o cantitate de parchet egală cu 47 m² + 4,7 m²  = 51,7 m².

c)  Parchetul se vinde ambalat în cutii şi fiecare cutie conţine 2,5 m ²  de parchet.  Pentru a cumpăra cantitatea de 51,7 m2 ar trebui cumpărate x cutii. Cu ajutorul regulii de 3 simplă

2,5 m²…………1 cutie

51,7 m²………..x cutii

Numărul x de cutii este egal cu 51,7 : 2,5 = 20,68 cutii de parchet.

Deoarece nu se pot cumpăra decât cutii întregi .. se vor cumpăra 21 de cutii de parchet (numărul întreg imediat următor numărului zecimal). Acesta este un număr minim de cutii de parchet cu care se poate acoperi camera.

Pentru a calcula preţul folosim iar regula de trei simplă:

1 cutie .......135 lei

21 cutii.........x lei

Suma minimă necesară pentru cumpărarea parchetului va fi 21 ∙135 = 2835 lei.