Problemă cu trapez și pătrat

Trapezul dreptunghic ABCD cu AB II CD, cu m (≮A) = m(≮D)= 90^o are AD = 12 cm AB=24 cm și m (≮B)=45^o.

Se notează  AD ∩ BC = {M}.

Se cere:   a) Arătați natura și aria Δ MAB;  b) Arătați că AC ⊥ BC;  
c)Știind că
CE II AD ,

 
arătați că [DE] ≡ [AC] și DE ⊥ AC 

Rezolvare:

Din datele problemei observăm că Δ MAB are:

 m (≮A) = 90^o și m (≮B)=45^o

m (≮ M) = 180^o – 90^o – 45^o = 45^o

Un astfel de triunghi este dreptunghic isoscel.

Într-un triunghi isoscel laturile opuse unghiurilor congruente sunt congruente.

Deci:  AB = AM = 24 cm.

B)  AD = 12 cm, AM = 24 cm rezultă DM = 12 cm

Δ MDC are:  m (≮CDM) = 90^o și m (≮DMC)=45^o

m (≮ DCM) = 180^o – 90^o – 45^o = 45^o

Rezultă că Δ MDC este dreptunghic isoscel  deci 

MD=DC=12 cm.

Δ ADC are:  m (≮CDA) = 90^o  și AD=DC=12 cm.

Rezultă că Δ ADC este dreptunghic isoscel deci și unghiurile sunt: m (≮DAC)= m (≮DCA)=45^o

Acum calculăm măsura unghiului ACM:

m (≮ACM)= m (≮DCA)+ m (≮DCM)= 45^o + 45^o= 90^o

deci: AC ⊥ BC

c) Construim CE II AD , E (AB)  și AD⊥AB, rezultă că CE ⊥ AB,

m (≮DCA) = m (≮CAE) = 45 grade
Rezultă că CD II AE rezultă că AECD este paralelogram cu unghiuri de 90 grade  deci este un dreptunghi care are laturile alăturate egale AD =CD=12 cm, adică un pătrat.

AECD fiind un pătrat are diagonalele AC și DE congruente și perpendiculare AC ⊥ DE.

Problemă cu trapez

 Fie ABCD un trapez dreptunghic cu baza mare AB și măsurile unghiurilor A și D de 90 grade.

       Demonstrați inegalitățile:   

       a ) AB – CD > BC – AD;

       b)      AB + AC > DB + DC.

Demonstație:

a)  În trapezul ABCD construin perpendicular din C pe latura AB și notăm cu E piciorul perpendicularei situat pe AB.  Deoarece ABCD este trapez cu unghiurile A și D de 90 grade, acest trapez este dreptunghic și are baza mare AB paralelă cu baza mica CD. 

Deoarece am construit CE perpendiculară pe AB și din ipoteză avem unghiul A de 90 grade  rezultă că AD și CE sunt paralele.

 Patrulaterul ADCE are laturile opuse paralele și unghiurile de 90 grade, deci este un dreptunghi.

Rezultă că laturile opuse sunt congruente, AE = CD și AD = CE.

Demonstrăm prima relație

AB-CD  > BC – AD . Deoarece am arătat mai sus că CD = AE și AD = CE

avem AB – CD = AB – AE = BE și în partea dreaptă BC – AD = BC – CE

Acum inegalitatea devine:  BE > BC – CE

sau BC + CE > BC

Observăm că acum în inegalitate avem laturile triunghiului BEC.

 Relația este adevărată deoarece întotdeauna într-un triunghi suma a oricare două laturi este mai mare decât cea de a treia latură.

b) Pentru cea de-a doua inegalitate construim diagonalele trapezului AC și BD.

În inegalitatea AB + AC > DB + DC,  trecem DC  în partea stângă DC și  AC în partea dreaptă cu semne schimbate.

Inegalitatea devine: AB – CD > DB – AC

Am arătat mai sus că laturile opuse ale dreptunghiului sunt egale

CD = AE și totodată  avem și diagonalele dreptunghiului egale. Acestea sunt: AC = DE. Introducem în inegalitate  și avem:

AB – AE  > DB – DE . Deoarece AB – AE = BE inegalitatea devine:

BE  > DB – DE sau   BE + DE > DB

Observăm că inegalitatea este adevărată deoarece avem inegalitatea laturilor triunghiului BED,  în care întotdeauna suma a două laturi este mai mare decât cea de-a treia latură.