A4. Determinaţi numărul cu ajutorul teoremei împărţirii cu rest

4. Determinaţi numărul natural care satisface simultan condiţiile:

a)      împărţit la 4, dă restul 3,

b)      împărţit la 10, dă restul 1;

c)      împărţit la 12, dă restul 3;

d)      suma câturilor celor trei împărţiri de la punctele a), b) şi c) este mai mare cu 16 decât o treime din numărul dat.

 Rezolvare:

În această problemă se utilizează teorema împărţirii cu rest.

Acestă teoremă spune: Deîmpărţitul este egal cu produsul dintre împărţitor şi cât la care se adună restul: 
D = Î  ∙ C + R

Dacă notăm numărul pe care trebuie să îl determinăm cu litera D şi aplicăm teorema de mai sus vom putea scrie condiţiile problemei astfel:

a)   D = 4  ∙ C₁ + 3

b)   D = 10  ∙ C₂ + 1

c)   D = 12  ∙ C₃ + 3

Deoarece avem trei împărţiri diferite şi câturile lor vor fi diferite. Deoarece nu le cunoaştem, le-am notat cu C_1,  C₂  şi C₃ .

Pentru condiţia d) vom scrie:  C₁ + C₂  + C₃  = D / 3  + 16

                    (suma celor trei câturi este mai mare cu 16 decât o treime din numărul dat) )

 Din relaţiile a) , b) şi c) scoatem câturile C1, C2 și C3  astfel:

a) D = 4  ∙ C₁ + 3  

     D – 3 = 4  ∙ C₁

                 

     C₁ =  (D-3) / 4

                   

 b)   D = 10  ∙ C₂ + 1 

       D – 1 = 10  ∙ C₂

                 

     C₂=  (D-1) / 10 

c)   D = 12  ∙ C₃ + 3 

       D – 3 = 12  ∙ C₃

                 

     C₃=  (D-3) / 12

Expresiile obținute pentru C1, C2 și C3 înlocuim în condiţia d) după are facem toate calculele:

                    (D-3) / 4 + (D – 1) / 10 + (D – 3) / 3 =  D /3  + 16

Numitorul comun al acestor fracţii:

4  = 2²

10 = 2 ∙5

12 = 2² ∙3

 3  = 3

-------------

Numitorul comun = 2² ∙3 ∙5  = 60   (din descompunerile în factori primi ale fiecărui numitor luăm, o singură dată, factorii comuni şi necomuni la puterea cea mai mare).

Amplificăm fiecare fracţie cu cantitatea neceasră pentru a ajunge la 60 : prima cu 15, a doua cu 6, a treia cu 5, a patra cu 20 şi termenul liber (numărul întreg) cu 60 şi obţinem:

15 (D-3) + 6 (D-1) + 5 (D-3)  = 20 D +16∙60

15 D -45 + 6 D -6 + 5 D – 15 = 20 D +960

26 D – 20 D = 960 + 45 + 6 + 15

  6 D = 1026

      D = 171

Soluţia : Numărul cerut este 171.