Problemă cu cerc înscris în triunghi

Geometrie clasa a VII-a

Problema următoare mi-a trimis-o un elev cu rugămintea de a o rezolva și explica.

Calculați lungimile segmentelor determinate de vârfurile unui triunghi și punctele de tangență ale cercului înscris în triunghi ,dacă lungimile laturilor triunghiului sunt de: 12 cm, 8 cm, 9cm.

Rezolvare:

Fie triunghiul ABC cu laturile AB = 8 cm, AC = 9 cm și BC = 12cm. Construim bisectoarele unghiurilor A, B și C. La intersecția bisectoarelor vom avea centrul cercului înscris în triunghi, punctul I.

Construim din centrul cercului perpendicularele pe laturile triunghiului. Notăm punctele M, N și P.
Aceste puncte sunt punctele de tangență ale cercului cu triunghiul ABC.

În triunghiurile API și ANI observăm:  
AB și AC sunt tangente la cerc, IP ^  AP, IN  ^  AN ,
AI este bisectoarea unghiului A , ≮PAI =≮NAI  și
AI este latură comună, rezultă că triunghiurile sunt congruente
ΔANI = ΔAPI . De aici rezultă că AP = AN = x.
În același mod demonstrăm că BP = BM =y  și CM = CN =z.
Deoarece AB = AP+BP = x +y = 8
AC = AN+NC = x + z = 9 cm
BC = BM + CM = y + z = 12 cm.
Deoarece cunoaștem laturile triunghiului, putem calcula perimetrul acestuia.
P = AB +BC + CA = 8 + 9 +12 = 29 cm
Dar perimetrul este egal și cu P = x + y + x + z + z + y = 2x +2y +2z =29 cm.
Împărțim prin 2 și obținem: x +y +z = 14,5 cm.
Înlocuim x+ y cu 8 (din relația lui AB) și obținem z = 14,5 – 8 = 6,5 cm.
Înlocuim x +z cu 9 (din relația lui AC) și obținem y = 14,5 – 9 = 5,5 cm.
Din relația lui BC = y + z = 12 obținem x = 14,5 – 12 = 2,5 cm.
Soluția problemei: x = 2,5 cm,  y = 5,5 cm și z = 6,5 cm.