duminică, 12 octombrie 2014

Arătați că fracția este ireductibilă pentru orice n nr. natural

Arătați că fracția următoare este ireductibilă pentru orice n număr natural:
                                                            7n+12
                                                            3n+5
Pentru a rezolva această problemă trebuie să știm ce înseamnă "fracție ireductibilă".
O fracție este ireductibilă atunci când fracția nu mai poate fi simplificată. Deoarece operația de simplificare se poate efectua doar dacă numărătorul și numitorul au divizori proprii comuni, în cazul unei fracții ireductibile numărătorul și numitorul nu au divizori comuni (alții în afară de divizorul impropiu 1).
(De exemplu: numărul 12 are ca divizori numerele: 1, 2, 3, 4, 6 și 12. Divizorii proprii sunt 2, 3, 4 și 6, iar divizorii improprii sunt 1 și 12. Numerele prime au doar divizori improprii 1 și numărul însuși.)
Din aceasta, rezultă că numărătorul și numitorul sunt numere prime între ele. Deci, ceea ce trebuie demonstrat în această problemă se poate spune altfel: 7n+12 și 3n+5 sunt numere prime între ele, sau nu au divizori comuni..

Vă propun o demonstrație prin reducere la absurd.
Prin reducere la absurd, de fapt, presupunem că fracția ar fi reductibilă. Din această presupunere, ar rezulta că numărătorul și numitorul au un divizor comun. Fie acest divizor comun  d , număr natural  diferit de 1.
Înseamnă că numărătorul este divizibil prin d , sau 7n+12= d * m  ( * înmulțire) (1)
                    numitorul este divizibil prin d , sau 3n+5= d * n   (* înmulțire)        (2)
Dacă relația (1) o înmulțim cu 3 (și la stânga și la dreapta) vom avea
                    21 n + 36 = 3 * d * m   (3)
Dacă relația (2) o înmulțim cu 7 (și la stânga și la dreapta) vom avea:
                    21 n + 35= 7 * d * n     (4)
Observăm că 21n+35 și 21n+36 sunt două numere consecutive.
Știm că, întotdeauna, două numere consecutive sunt prime între ele.Dar o putem și arăta prin calcul astfel:
21n+36 = 21n+35+1 , rezultă:
3*d*m=7*d*n+1 , rezultă că: d * ( 3*m - 7 * n) = 1  .  Deoarece d , m și n sunt numere naturale, se poate obține 1 la o astfel de înmulțire doar dacă d =1 și   3*m - 7 * n = 1.
Deci d =1,  ceea ce contrazice presupunerea făcută la începutul demonstrației.

Rezultă că 1 este singurul divizor comun al numărătorului și numitorului fracției date, deci fracția este ireductibilă.





Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu