luni, 9 ianuarie 2017

Test evaluare algebră clasa a VI-a -semestrul I

1.  Rezolvați calculul următor: 23×22:24 -2 =
2.  Calculați:




3.      Determinați cel mai mic număr natural nenul care împărțit la 5, 8 și respectiv 10, dă resturile 4, 7, respectiv 9.

4.       Aflați elementele mulțimii


5.       Arătați că numărul A=3×2n+2n+1+5×2n+1+2n+3 este divizibil cu 23, pentru orice n număr natural.


Rezolvare:

1.       Ne folosim de regulile calculului cu puteri la înmulțire: am ×an = am+n, apoi și la împărțire: am :an = am-n și rezultă și obținem:

23×22:24 -2 =  23+2:24 -2 = 25:24 -2 = 25:24 -2 =
= 21 – 2 = 2 – 2 = 0.

Soluția:   {0}
2.       În acest calcul vom exprima în fracții ordinare toate numerele din exercițiu. Fracțiile zecimale le vom scrie cu numitor 10 deoarece avem o singură zecimală după virgulă, iar numărul cu perioadă simplă (perioada urmează imediat după virgulă) , îl vom scrie cu numitor 9 (deoarece avem perioadă dintr-o singură cifră) și la numărător vom scrie numărul care se obține dacă nu luăm în considerare virgula și perioada. În paranteza pătrată vom amplifica fracția cu 3, pentru a avea același numitor cu fracția 7/9 (prin amplificare înmulțim cu același număr atât numărătorul, cât și numitorul fracției). Obținem:

Soluția:   { 10 }

3.   La acest tip de exerciții se folosește teorema împărțirii cu rest.
Teorema ne spune că deîmpărțitul este egal cu produsul dintre împărțitor și cât la care adunăm restul:    
       D = Î C + R
Dacă presupunem că numărul nostru este n, atunci putem scrie teorema împărțirii cu rest pentru fiecare caz de împărțire dat de exercițiu. Astfel:
n = 5C 1 + 4,
n = 8C 1 + 7,
n = 10C 1 + 9,
Observăm că 4 = 5-1, 7 = 8-1 și 9 = 10-1
Vom scrie cele 3 relații astfel:
n = 5C 1 + 5-1,
n = 8C 1 + 8-1,
n = 10C 1 + 10-1
În toate relațiile trecem -1 în partea stângă și obținem:
n+1 = 5C 1 + 5 = 5(C1 +1),
n+1 = 8C 1 + 8 = 8(C2 +1),
n+1 = 10C 1 + 10 = 10 (C3 +1).
Relațiile, aduse în aceste forme ne arată că numărul n+1 este un număr care este divizibil cu 5, 8 și 10. Cel mai mic număr care este divizibil cu 5, 8 și 10 este cel mai mic multiplu comun al numerelor 5,8 și 10.

5 = 5
8 = 23
10 = 25
c.m.m.m.c = 235 = 40

Rezultă că numărul n+1 = 40. Din această relație rezultă că
 n = 40-1 = 39.

Soluția:  { 39 }

4.       Pentru a afla elementele mulțimii A ne uităm cu atenție la condiția pe care trebuie să o îndeplinească elementele numere naturale (întregi și pozitive) ale acestei mulțimi. Observăm că sunt trei fracții care au diferiți numitori: 20, 15 și 12 și aceste fracții au între ele semnul < (mai mic). Deci fracțiile trebuie comparate între ele pentru a putea spune care sunt valorile fracției situată între celelalte două. Pentru a putea compara aceste fracții trebuie să avem același numitor la toate fracțiile.

Aflăm numitorul comun după regula de la cel mai mic multiplu comun.
20 = 22 5
15 = 3 5
12= 22 3
c.m.m.m.c. = 223∙5

Amplificăm prima fracție cu 3, a doua cu 4 și cea de-a treia cu 5 și obținem:

 
Deoarece acum fracțiile au același numitor putem compara doar numărătorii:

Deoarece 4(x+1) are ca factor pe 4 rezultă că este un număr multiplu al lui 4 care se află între 39 și 55. Multiplii lui 4 din acest interval sunt 40, 44, 48 și 52. Pentru fiecare caz avem:
4(x+1) = 40 => x+1 = 10 => x = 9
4(x+1) = 44 => x +1 = 11 => x = 10
4(x+1) = 48 => x +1 = 12 => x = 11
4(x+1) = 52 => x +1 = 13 => x = 12

Rezultă soluția: 

5.   Pentru a arăta că numărul A=3×2n+2n+1+5×2n+1+2n+3 este divizibil cu 23, pentru orice nÎN observăm că avem o adunare de produse care au puteri ale lui 2. Exponenții puterilor lui 2 sunt n, n+1 și n+3. Unde avem adunare la exponenți putem aplica regula de calcul

am+n = a m + an
Rezultă că A = 3×2n+2n 21 +5×2n 21+2n 2 3
Observăm că 2n este factor comun al sumei de produse și putem să scoatem în față acest factor comun:
A =  2n ( 3 + 2 + 52+ 8) = 2n ∙23
Rezultă că numărul A este un multiplu de 23, deci este divizibil cu 23.

Soluția:     A divizibil cu 23.

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu