Test evaluare algebră clasa a VI-a -semestrul I

1.  Rezolvați calculul următor: 2³×2²:2⁴ -2 =
2.  Calculați:

3.      Determinați cel mai mic număr natural nenul care împărțit la 5, 8 și respectiv 10, dă resturile 4, 7, respectiv 9.

4.       Aflați elementele mulțimii

5.       Arătați că numărul A=3×2ⁿ+2ⁿ⁺¹+5×2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺³ este divizibil cu 23, pentru orice n număr natural.


Rezolvare:

1.       Ne folosim de regulile calculului cu puteri la înmulțire: a^m ×aⁿ = a^m+n, apoi și la împărțire: a^m :aⁿ = a^m-n și rezultă și obținem:

2³×2²:2⁴ -2 =  2³⁺²:2⁴ -2 = 2⁵:2⁴ -2 = 2⁵:2⁴ -2 =
= 2¹ – 2 = 2 – 2 = 0.

Soluția:   {0}

2.       În acest calcul vom exprima în fracții ordinare toate numerele din exercițiu. Fracțiile zecimale le vom scrie cu numitor 10 deoarece avem o singură zecimală după virgulă, iar numărul cu perioadă simplă (perioada urmează imediat după virgulă) , îl vom scrie cu numitor 9 (deoarece avem perioadă dintr-o singură cifră) și la numărător vom scrie numărul care se obține dacă nu luăm în considerare virgula și perioada. În paranteza pătrată vom amplifica fracția cu 3, pentru a avea același numitor cu fracția 7/9 (prin amplificare înmulțim cu același număr atât numărătorul, cât și numitorul fracției). Obținem:

Soluția:   { 10 }

3.   La acest tip de exerciții se folosește teorema împărțirii cu rest.
Teorema ne spune că deîmpărțitul este egal cu produsul dintre împărțitor și cât la care adunăm restul:    

       D = Î∙ C + R

Dacă presupunem că numărul nostru este n, atunci putem scrie teorema împărțirii cu rest pentru fiecare caz de împărțire dat de exercițiu. Astfel:
n = 5∙C ₁ + 4,
n = 8∙C ₁ + 7,
n = 10∙C ₁ + 9,
Observăm că 4 = 5-1, 7 = 8-1 și 9 = 10-1
Vom scrie cele 3 relații astfel:
n = 5∙C ₁ + 5-1,
n = 8∙C ₁ + 8-1,
n = 10∙C ₁ + 10-1
În toate relațiile trecem -1 în partea stângă și obținem:
n+1 = 5∙C ₁ + 5 = 5(C₁ +1),
n+1 = 8∙C ₁ + 8 = 8(C₂ +1),
n+1 = 10∙C ₁ + 10 = 10 (C₃ +1).
Relațiile, aduse în aceste forme ne arată că numărul n+1 este un număr care este divizibil cu 5, 8 și 10. Cel mai mic număr care este divizibil cu 5, 8 și 10 este cel mai mic multiplu comun al numerelor 5,8 și 10.

5 = 5
8 = 2³
10 = 2∙5
c.m.m.m.c = 2³∙5 = 40

Rezultă că numărul n+1 = 40. Din această relație rezultă că
 n = 40-1 = 39.

Soluția:  { 39 }

4.       Pentru a afla elementele mulțimii A ne uităm cu atenție la condiția pe care trebuie să o îndeplinească elementele numere naturale (întregi și pozitive) ale acestei mulțimi. Observăm că sunt trei fracții care au diferiți numitori: 20, 15 și 12 și aceste fracții au între ele semnul < (mai mic). Deci fracțiile trebuie comparate între ele pentru a putea spune care sunt valorile fracției situată între celelalte două. Pentru a putea compara aceste fracții trebuie să avem același numitor la toate fracțiile.

Aflăm numitorul comun după regula de la cel mai mic multiplu comun.
20 = 2² ∙5
15 = 3 ∙5
12= 2² ∙3
c.m.m.m.c. = 2²∙3∙5

Amplificăm prima fracție cu 3, a doua cu 4 și cea de-a treia cu 5 și obținem:

 

Deoarece acum fracțiile au același numitor putem compara doar numărătorii:

Deoarece 4(x+1) are ca factor pe 4 rezultă că este un număr multiplu al lui 4 care se află între 39 și 55. Multiplii lui 4 din acest interval sunt 40, 44, 48 și 52. Pentru fiecare caz avem:
4(x+1) = 40 => x+1 = 10 => x = 9
4(x+1) = 44 => x +1 = 11 => x = 10
4(x+1) = 48 => x +1 = 12 => x = 11
4(x+1) = 52 => x +1 = 13 => x = 12

Rezultă soluția: 

5.   Pentru a arăta că numărul A=3×2ⁿ+2ⁿ⁺¹+5×2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺³ este divizibil cu 23, pentru orice nÎN observăm că avem o adunare de produse care au puteri ale lui 2. Exponenții puterilor lui 2 sunt n, n+1 și n+3. Unde avem adunare la exponenți putem aplica regula de calcul

a^m+n = a ^m + aⁿ

Rezultă că A = 3×2ⁿ+2ⁿ ∙2¹ +5×2ⁿ ∙2¹+2ⁿ ∙2 ³
Observăm că 2ⁿ este factor comun al sumei de produse și putem să scoatem în față acest factor comun:
A =  2ⁿ ( 3 + 2 + 5∙2+ 8) = 2ⁿ ∙23
Rezultă că numărul A este un multiplu de 23, deci este divizibil cu 23.

Soluția:     A divizibil cu 23.