marți, 14 octombrie 2014

Determinați valorile întregi ale lui x pentru care fracția urmatoare are valori întregi

 Algebră Clasa a VI-a, clasa a VII-a

Determinați valorile întregi ale lui x pentru care fracția următoare are valori în mulțimea numerelor întregi:
5x + 18
7 - 2x

În acest exercițiu avem o fracție în care necunoscuta x apare și la numărător și la numitor.Pentru această necunoscută x trebuie să aflăm valorile pe care le poate avea astfel încât, atunci când le introducem în expresia fracției  și calculăm să obținem numai numere întregi.

Asta înseamnă că numărătorul fracției trebuie să se împartă exact la numitor (ca rezultatul împărțirii să fie număr întreg)   sau altfel spus, numărătorul este divizibil prin numitor (sau numitorul divide numărătorul)
Dacă avem o astfel de împărțire exactă, fără rest (restul trebuie să fie zero) înseamnă că putem să facem operațiunea de scoatere a întregilor din fracție.
Observăm că la numitor avem -2x .....iar la numărător +5x...Pentru a fi calculul mai ușor, scoatem factor comun la numitor -1. Fracția va arăta astfel:
5x+18
-1(2x-7)

Ne vom folosi de niște artificii de calcul, pentru a forma la numărător expresia de la numitor.
Astfel în loc de 5x vom scrie 2x + 2x + x iar pentru a-l avea pe -7 la numărător, adunăm și scădem 7 (știm că rezultatul nu se schimbă dacă adunăm și scădem același număr) și vom scrie 18+7-7 și rezultatul nu se schimbă.


Mai departe vă propun să urmăriți a doua parte a calculelor în care aplicăm un alt artificiu prin care înmulțim și împărțim fracția rămasă cu 2 astfel încât să avem și la numărător 2x. Să ne uităm acum numai la acea fracție rămasă, pe care o înmulțim și o împărțim prin 2. După efectuarea calculelor am adus fracția noastră la o formă în care necunoscuta apare numai la numitor.
Pentru ca această expresie să aibă numai valori întregi, ar trebui ca paranteza să fie un număr întreg și par. Deoarece avem 1 adunat cu o fracție, concluzia este că această fracție trebuie să fie un număr întreg impar.
Când această fracție ia valori întregi impare?
La cea de-a doua fracție  observăm că 73 de la numărător este număr prim. Divizorii lui 71 sunt: -71, -1, 1 și +71. Pentru aceste cazuri calculăm valorile lui x. Astfel:
    2x-7  = -71;   rezultă că  2x = 7 -71 = - 64 ;   x = -32;
    2x-7  = -1;     rezultă că  2x = 7 - 1  = 6 ,  2x = 6;    x = 3;
    2x -7 = 1;      rezultă că   2x = 7 + 1 = 8;   2x = 8; x = 4;
   2x - 7 = 71;    rezultă că   2x = 7 + 71 = 78;  x = 39.
Soluția problemei: 


Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu