Valoarea minimă a expresiei

Exercițiu de la concursul național Lumina Math 2014, clasa a 8-a

Valoarea minimă a expresiei 9x²+6x, când x aparține numerelor reale este:

A) -1;      B) 0       C) 1      D) -2      E) 2

Rezolvare:

Observăm în expresia dată avem un pătrat perfect 9x²  și un termen 6x care are coeficientul număr par. Putem să reconstituim formula pătratului unui binom

Din care, în expresia noastră, lipsește pătratul celui de-al doilea termen al binomului.

Deoarece 9x² = (3x)²  și 6x = 2(3x)(1)  observăm că dacă adunăm și scădem  1 care poate fi scris (1)²  expresia noastră va avea formula pătratului binomului care îl vom putea scrie și în forma restrânsă:

E(x) = 9x²+6x = 9x²+6x+1-1 =  (3x)²+2(3x)(1)+(1)² -1 = (3x+1)² -1

O astfel de formă a expresiei ne ajută să evaluăm valoarea minimă a acestei deoarece variabila x, care ia valori în toată mulțimea numerelor reale o avem într-o paranteză  care se ridică la puterea a două. Deci acolo găsim un pătrat perfect. Pătratele perfecte au o valoare minimă și aceasta este 0!. Deoarece întotdeauna pătratul perfect este pozitiv și poate fi egal cu zero (mai mare sau egal cu zero).

Deci, când paranteza ia valoarea minimă și expresia noastră va avea valoarea minimă.

Acest minim se produce atunci când 3x+1 = 0  adică x = -1/3. Pentru această valoare când 3x+1 = 0 expresia are valoarea minimă  E minim =  -1

 (E(-1/3) = 0-1 = -1)

Rezultatul: A)  -1