Problema cu arii de triunghiuri

Problemă de la Concursul naţional Lumina Math 2014 - clasa a 8-a

În triunghiul ABC se consideră punctele

 şi se notează cu P intersecţia segmentelor [BM] şi [CN].Ştiind că ariile triunghiurilor BNP, BPC şi CMP sunt 2,3 şi, respective, 4 atunci aria triunghiului ABC este:
A) 102;              B) 103;               C) 104;                 D) 105;                 E) 106



Rezolvare:
Construim figura conform datelor problemei. În plus, adăugăm pe figură următoarele:

 

 Unim punctul P cu vârfurile triunghiului ABC. Construim înălţimile PA1, PB1 şi PC1 în triunghiurile PCB, PAB şi PAC

  

De asemenea, construim înălţimile triunghiului ABC: BB2 şi CC2:

Am construit toate aceste înălţimi deoarece, având în minte cerinţa problemei de a calcula aria triunghiului ABC şi faptul că sunt cunoscute valorile ariilor unor triunghiuri, avem nevoie să exprimăm aceste arii folosind formula ariei triunghiului:

           

unde b este latura triunghiului considerată ca bază şi h este înălţimea coborâtă din vârful triunghiului opus bazei.

Putem să scriem aria triunghiului ABC ca suma ariilor celor trei triunghiuri care se formează din punctul P cu cele trei vârfuri ale triunghiului: PAB, PBC şi PCA:

A_ΔABC  = A_ΔPAB  + A _ΔPBC + A_ΔPCA             (0)

La triunghiul PAB luăm baza AB şi înălţimea PC1, la triunghiul PAC luăm baza AC şi înălţimea PB1, iar la triunghiul PBC avem în datele problemei aria egală cu 3.

 Aria triunghiului PBN este egală cu 2, din datele problemei şi totodată o putem scriefolosind  baza BN şi înălţimea PC1, iar aria triunghiului PCM este egală cu 4 şi oputem scrie folosind baza CM şi înălţimea PB1:

  

Etapa 1.

Observăm că triunghiul CBN este format din triunghiurile PBC şi PBN care au arii cunoscute 3 şi 2. Deci aria triunghiului CBN este 5. Această arie se poate scrie.

 Iar aria triunghiului ABC, când luăm baza AB este egală cu:

Dacă împărţim relaţia 6 la relaţia 7 vom avea:

Din relaţia 4 avem

 Iar din relaţia 1 avem

Împărţind relaţia 10 la relaţia 11 obţinem:

 

Aici înlocuim valoarea raportului AB/BN pe care am obţinut-o mai sus în relaţia 9 şi obţinem aria triunghiului PAB exprimată în funcţie de aria triunghiului ABC:

 

Etapa 2. Repetăm raţionamentul care este descries în Etapa 1 şi pentru exprimarea ariei triunghiului PAC în funcţie de aria triunghiului ABC. Astfel:

Observăm că triunghiul BCM este format din triunghiurile PBC şi PCM care au arii cunoscute 3 şi 4. Deci aria triunghiului BCM este 7. Această arie se poate scrie:

  

Iar aria triunghiului ABC, când luăm baza AC este egală cu:

Dacă împărţim relaţia 6.1 la relaţia 7.1 vom avea:

Din relaţia 5 avem

 

Iar din relaţia 3 avem

Împărţind relaţia 10.1 la relaţia 11.1 obţinem:

Aici înlocuim valoarea raportului AC/CM pe care am obţinut-o mai sus în relaţia 9.1 şi obţinem aria triunghiului PCA exprimată în funcţie de aria triunghiului ABC:

Etapa 3.

Revenim la relaţia iniţială notată cu „0” în care am exprimat aria triunghiului ABC ca sumă de arii ;i înlocuim valoarile ariile triunghiurilor cu expresiile obţinute în relaţia 13 şi 13.1 şi ţinem cont că aria triunghiului PBC este egală cu 3 din datele problemei. Astfel obţinem:

Rezultatul problemei este varianta: D 105