1. Câte numere pare sunt cel mult egale cu 31?
A) 16; B) 15; C) 14; D) 18; E) 17
2. Ordonați într-un șir descrescător numerele
știind că 4 < a < b. Care este al treilea număr din șir?
3. Câte numere de forma
unde a poate fi egal cu b, au suma cifrelor un număr impar?
A) 90 ; B) 40; C) 81; D) 45; E) 10.
4. Se dă șirul de numere: 12, 223, 3334, 44445, ...
Care este suma cifrelor numărului din șir care se află pe locul 100?
A) 10101; B) 102; C) 10102; D) 101; E) 10002.
Rezolvări:
1. Câte numere pare sunt cel mult egale cu 31?
Rezolvare:
Pentru a răspunde la întrebarea câte numere pare sunt cel mult egale cu 31?, mai întâi să lămurim ce este un număr par. Numărul par este numărul care se împarte exact la 2. Numărului par îi mai spunem număr cu soț. Prin cel mult egale cu 31, înțelegem că aceste numere trebuie să nu fie mai mari decât 31, deci trebuie să fie mai mici decât 31, sau chiar egale cu 31.
Observăm că numărul 31 nu se împarte exact la doi, deci este număr impar.
31: 2 = 15 rest 1. Înseamnă că de la 1 până la 31 avem 15 numere pare și 15+1 = 16 numere impare. Dar, trebuie să ținem cont și de numărul zero 0 care este și el număr par. În total avem 16 numere pare.
Soluție: A) 16
2. Ordonați într-un șir descrescător numerele
știind că 4 < a < b. Care este al treilea număr din șir?
Rezolvare:
Ordinea descrescătoare înseamnă în ordine, de la cel mai mare la cel mai mic.
Din condiția problemei observăm că cifrele a și b sunt mai mari decât 4. Deoarece cifrele pot fi 0, 1, 2, 3 ….8, 9. Cea mai mare valoare a cifrelor este 9. Deci a și b pot fi egale cu 5, 6, 7, 8 sau 9. Ținem cont că a este mai mic decât b.
Când comparăm două numere, care au același număr de cifre (la noi sunt câte 5 cifre la fiecare număr) ne uităm și comparăm cifrele numerelor, pe rând de la stânga la dreapta (de la clasa cea mai mare, a zecilor de mii spre clasa unităților).
La zeci de mii avem, în ordine, 4, a, 3, 4 și a.
Cea mai mare valoare este a (deoarece a este mai mare decât 4), apoi 4 și 3.
Deci primele două, cele mai mari numere sunt:
Pentru a determina care este numărul mai mare dintre acestea două, ne uităm la cifra miilor. Avem 4 și b. Cum b este mai mare decât 4, rezultă că
.Pentru a afla în ce ordine sunt numerele aflate pe locurile 3 și 4, comparăm cifrele miilor. Observăm că avem cifra 2 la ambele numere.
Apoi, ne uităm la cifrele sutelor. Observăm că avem cifra 3 la ambele numere.
Ne uităm la cifra zecilor. Avem a și b.
Problema ne spune că b este mai mare decât a. Deci ordinea descrescătoare este:
Deci numărul care este pe locul al treilea în ordine descrescătoare este .
3. Câte numere de forma
unde a poate fi egal cu b, au suma cifrelor un număr impar?
Rezolvare:Observăm că numerele de forma
au două cifre identice: cifra unităților și cifra sutelor. Suma a două cifre identice este întotdeauna un număr par, deoarece:
un număr par îl notăm, în general, ca fiind 2 înmulțit cu un număr întreg, de exemplu 2∙k, iar un număr impar îl notăm, în general, cu 2∙k+1 (un număr par plus o unitate). Observăm că la adunarea a două numere identice obținem, în fiecare caz, 2 înmulțit cu un număr întreg, ceea ce înseamnă un număr par: 2k + 2 k = 4k și
2k+1+2k+1 = 2∙2k + 2∙1 = 2 ∙( 2k +1) .un număr par îl notăm, în general, ca fiind 2 înmulțit cu un număr întreg, de exemplu 2∙k, iar un număr impar îl notăm, în general, cu 2∙k+1 (un număr par plus o unitate). Observăm că la adunarea a două numere identice obținem, în fiecare caz, 2 înmulțit cu un număr întreg, ceea ce înseamnă un număr par: 2k + 2 k = 4k și
De aici rezultă că suma cifrelor numărului dat de problemă este:
a +b +a = 2 ∙a + b.
Indiferent dacă a este par sau impar, suma celor doi de "a" ne va duce la un număr par. Ca această sumă să fie un număr impar, doar cifra "b" ne poate duce la un număr impar.
Dacă b este o cifră pară, atunci suma 2a +b este tot un număr par.
În concluzie, doar dacă cifra b este impară de forma 2k + 1, rezultatul acestei sume va fi un număr impar:
2a + b = 2a +(2k + 1) = 2a + 2k +1 = 2 (a +k) +1 .
Dintre cifrele de la 0 la 9, cifrele impare sunt 1, 3, 5, 7 și 9. Deci sunt 5 numere.
Deoarece cifra "a" poate fi oricare cifră de la 1 la 9, aceasta va avea 9 valori.
Pentru a =1, cu cele 5 variante de valori pentru b găsim 5 numere: 111, 131, 151, 171 și 191.
Pentru a = 2, găsim alte 5 numere: 212, 232,252, 272 și 292.
La fel și pentru celelalte valori: 313, 333, 353, 373, 393,
414, 434, 454, 474, 494,
515, 535, 555, 575, 595,
616, 636, 656, 676, 696,
717, 737, 757, 777, 797,
818, 838, 858, 878, 898,
919, 939, 959, 979, 999.
Deci în total sunt 9x5 = 45 de numere de forma
pentru care suma cifrelor este un număr impar.
Soluție: D) 45
4. Se dă șirul de numere: 12, 223, 3334, 44445, ...
Care este suma cifrelor numărului din șir care se află pe locul 100?
Rezolvare:
Trebuie să observăm regula după care aceste numere sunt așezate în șir.
12
223……..2 de 2 și un 3
3334……3 de 3 și un 4
44445…..4 de 4 și un 5
555556……5 de 5 și un 6
6666667…..6 de 6 și un 7
77777778…..7 de 7 și un 8
888888889…..8 de 8 și un 9
9999999991……9 de 9 și un 1
11111111112……..10 de 1 și un 2
și așa mai departe….al 100-lea număr va avea 100 de 1 și un 2.
Suma cifrelor acestui număr este 100x1+2 = 102.
De ce am pus după cei 9 de 9 un 1 și nu am pus 0?
Am exclus varianta cu 0 deoarece șirul nu începe cu 01, ci cu 12.
Pe de altă parte, dacă aș pune 9999999990, numărul următor, al zecelea devine 00000000001, ceea ce mă duce la al 100-lea număr ca fiind 0000000000000….00001, în care avem 100 de zero și un 1. Suma cifrelor acestui număr va fi 1 și acest rezultat nu este între soluțiile date.
Soluție: B) 102
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu