A) 39; B) 60; C) 80; D) 99; E) imposibil de determinat
2. Cu toate cifrele de la 1 la 6, folosite o singură dată, se pot forma două numere de trei cifre (de exemplu 645 și 321) . Diferența minimă a două astfel de numere este:
A) 69; B) 56; C) 111; D) 47; E) 38.
3. Suma cifrelor unui număr de două cifre se scade din număr, iar rezultatul are cifra unităților egală cu 6.Câte numere de două cifre au această proprietate?
A) 1; B) 2; C) 5; D) 10; E) 6.
4. Suma tuturor numerelor impare de trei cifre care au suma cifrelor egală cu 4 este:
A) 435; B) 512; C) 615; D) 633; E) 736.
Rezolvări:
1. Soldații stau aliniați pe rânduri și coloane, în formație dreptunghiulară. În fața lui Ghiță, pe aceeași coloană sunt 3 soldați și în spatele lui 5. În stânga lui Petre, pe același rând sunt 6 soldați și în dreapta lui 4. Câți soldați sunt în formație?
A) 39; B) 60; C) 80; D) 99; E) imposibil de determinat
Rezolvare:
Dacă în fața lui Ghiță sunt 3 soldați și în spatele lui 5, rezultă și pe coloana lui Ghiță sunt
3 +1 + 5 = 9 soldați (l-am adunat și pe Ghiță)
Dacă în stânga lui Petre, pe același rând sunt 6 soldați și în dreapta lui 4, rezultă că pe același rând sunt 6 + 1 + 4 = 11 soldați.
Cum toate rândurile sunt egale între ele și toate coloanele sunt egale între ele (deoarece formația este dreptunghiulară), rezultă că numărul total de soldați din formație este 9 x 11 = 99 soldați.
Soluție: D) 99
2. Cu toate cifrele de la 1 la 6, folosite o singură dată, se pot forma două numere de trei cifre (de exemplu 645 și 321) . Diferența minimă a două astfel de numere este:
A) 69; B) 56; C) 111; D) 47; E) 38.
Rezolvare:
Pentru a avea cea mai mică diferența între cele două numere, rezultă că ele trebuie să aibă valori cât mai apropiate.
La cifra sutelor diferența de o unitate între cele două numere este cea mai mică. Deci numerele vor fi de forma:
6xx cu 5xx , 5xx cu 4xx, 4xx cu 3xx, 3xx cu 2xx sau 2xx cu 1xx.
Pentru a descoperi celelalte cifre, ne gândim că pentru a obține cea mai mică diferență trebuie să avem la descăzut cel mai mic număr de 2 cifre care se poate forma din cifrele rămase și scăzătorul cel mai mare număr care se poate forma din ultimele două cifre.
Cel mai mare număr de două cifre care se poate forma este 65, iar cel mai mic număr de două cifre care se poate forma este 12.
Rezultă că în varianta 4xx cu 3xx vom obține cea mai mică diferență:
412 - 365 = 47
Soluție: D) 47
3. Suma cifrelor unui număr de două cifre se scade din număr, iar rezultatul are cifra unităților egală cu 6.Câte numere de două cifre au această proprietate?
A) 1; B) 2; C) 5; D) 10; E) 6.
Rezolvare:
Numărul din două cifre se poate scrie în baza 10: 10a +b, unde a este cifra zecilor și b este cifra unităților.
Suma cifrelor numărului este a +b
Diferența dintre număr și suma cifrelor lui va fi:
10a+b -(a + b) = 10a + b - a -b.
Această diferență este un număr de două cifre care are cifra zecilor x și cifra unităților 6: 10x + 6.
Egalăm cele două expresii:
10a +b -a -b = 10x + 6
Observăm că b -b = 0 și 10a -a = 9a. Rezultă:
9a = 10x+6.
Deoarece a este o cifră care poate lua valori de la 0 până la 9, singura variantă pentru care obținem un număr cu cifra unităților 6 este la a =4
9x4= 36
Cifra b a numărului poate lua oricare valoare de la 0 până la 9. Deci numerele vor fi
40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49. În total sunt 10 numere.
Verificare: 40-4=36; 41-5=36; 42-6=36; 43-7=36; 44-8=36; 45-9=36;
46-10=36; 47-11=36; 48-12=36; 49-13=36.
Soluție: D) 10
4. Suma tuturor numerelor impare de trei cifre care au suma cifrelor egală cu 4 este:
A) 435; B) 512; C) 615; D) 633; E) 736.
Pentru a fi impar, un număr trebuie să conțină o cifră impară la cifra unităților, iar aceasta poate fi 1, 3, 5, 7 sau 9. Dar problema ne spune că celor trei cifre ale numărului este egală cu 4. Rezultă că cifra unităților numărului poate fi doar 1 sau 3, celelalte fiind prea mari.
Pentru celelalte două cifre ale numărului, fie acestea a și b, vom scrie suma cifrelor numărului astfel:
a + b + 1 = 4 și cealaltă variantă a + b +3 = 4, a și b fiind cifre pot lua valori de la 0 până la 9, cu condiția că a nu poate fi egal cu zero (dacă a =0 nu mai avem număr din 3 cifre, ci doar din 2 cifre).
Putem avea următoarele situații:
Varianta 1: a + b + 1 = 4. Dăm valori lui a: 1, 2 , 3 ...
1 + b +1 = 4 rezultă b = 2, numărul este 121
2 + b +1 = 4 rezultă b = 1, numărul este 211
3 + b +1 = 4 rezultă b = 0, numărul este 301. Valori mai mari decât 3 nu se mai pot lua deoarece se depășește rezultatul 4
Varianta 2: a + b +3 = 4. Dăm valori lui a începând cu 1.
1 + b + 3 = 4 rezultă b = 4 - 4 =0, numărul este 103
Valori mai mari de 1 nu mai putem lua, deoarece se depășește rezultatul 4.
Suma acestor numere este 121 + 211 + 301 + 103 = 736
Soluția: E) 736
1. Soldații stau aliniați pe rânduri și coloane, în formație dreptunghiulară. În fața lui Ghiță, pe aceeași coloană sunt 3 soldați și în spatele lui 5. În stânga lui Petre, pe același rând sunt 6 soldați și în dreapta lui 4. Câți soldați sunt în formație?
A) 39; B) 60; C) 80; D) 99; E) imposibil de determinat
Rezolvare:
Dacă în fața lui Ghiță sunt 3 soldați și în spatele lui 5, rezultă și pe coloana lui Ghiță sunt
3 +1 + 5 = 9 soldați (l-am adunat și pe Ghiță)
Dacă în stânga lui Petre, pe același rând sunt 6 soldați și în dreapta lui 4, rezultă că pe același rând sunt 6 + 1 + 4 = 11 soldați.
Cum toate rândurile sunt egale între ele și toate coloanele sunt egale între ele (deoarece formația este dreptunghiulară), rezultă că numărul total de soldați din formație este 9 x 11 = 99 soldați.
Soluție: D) 99
2. Cu toate cifrele de la 1 la 6, folosite o singură dată, se pot forma două numere de trei cifre (de exemplu 645 și 321) . Diferența minimă a două astfel de numere este:
A) 69; B) 56; C) 111; D) 47; E) 38.
Rezolvare:
Pentru a avea cea mai mică diferența între cele două numere, rezultă că ele trebuie să aibă valori cât mai apropiate.
La cifra sutelor diferența de o unitate între cele două numere este cea mai mică. Deci numerele vor fi de forma:
6xx cu 5xx , 5xx cu 4xx, 4xx cu 3xx, 3xx cu 2xx sau 2xx cu 1xx.
Pentru a descoperi celelalte cifre, ne gândim că pentru a obține cea mai mică diferență trebuie să avem la descăzut cel mai mic număr de 2 cifre care se poate forma din cifrele rămase și scăzătorul cel mai mare număr care se poate forma din ultimele două cifre.
Cel mai mare număr de două cifre care se poate forma este 65, iar cel mai mic număr de două cifre care se poate forma este 12.
Rezultă că în varianta 4xx cu 3xx vom obține cea mai mică diferență:
412 - 365 = 47
Soluție: D) 47
3. Suma cifrelor unui număr de două cifre se scade din număr, iar rezultatul are cifra unităților egală cu 6.Câte numere de două cifre au această proprietate?
A) 1; B) 2; C) 5; D) 10; E) 6.
Rezolvare:
Numărul din două cifre se poate scrie în baza 10: 10a +b, unde a este cifra zecilor și b este cifra unităților.
Suma cifrelor numărului este a +b
Diferența dintre număr și suma cifrelor lui va fi:
10a+b -(a + b) = 10a + b - a -b.
Această diferență este un număr de două cifre care are cifra zecilor x și cifra unităților 6: 10x + 6.
Egalăm cele două expresii:
10a +b -a -b = 10x + 6
Observăm că b -b = 0 și 10a -a = 9a. Rezultă:
9a = 10x+6.
Deoarece a este o cifră care poate lua valori de la 0 până la 9, singura variantă pentru care obținem un număr cu cifra unităților 6 este la a =4
9x4= 36
Cifra b a numărului poate lua oricare valoare de la 0 până la 9. Deci numerele vor fi
40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49. În total sunt 10 numere.
Verificare: 40-4=36; 41-5=36; 42-6=36; 43-7=36; 44-8=36; 45-9=36;
46-10=36; 47-11=36; 48-12=36; 49-13=36.
Soluție: D) 10
4. Suma tuturor numerelor impare de trei cifre care au suma cifrelor egală cu 4 este:
A) 435; B) 512; C) 615; D) 633; E) 736.
Pentru a fi impar, un număr trebuie să conțină o cifră impară la cifra unităților, iar aceasta poate fi 1, 3, 5, 7 sau 9. Dar problema ne spune că celor trei cifre ale numărului este egală cu 4. Rezultă că cifra unităților numărului poate fi doar 1 sau 3, celelalte fiind prea mari.
Pentru celelalte două cifre ale numărului, fie acestea a și b, vom scrie suma cifrelor numărului astfel:
a + b + 1 = 4 și cealaltă variantă a + b +3 = 4, a și b fiind cifre pot lua valori de la 0 până la 9, cu condiția că a nu poate fi egal cu zero (dacă a =0 nu mai avem număr din 3 cifre, ci doar din 2 cifre).
Putem avea următoarele situații:
Varianta 1: a + b + 1 = 4. Dăm valori lui a: 1, 2 , 3 ...
1 + b +1 = 4 rezultă b = 2, numărul este 121
2 + b +1 = 4 rezultă b = 1, numărul este 211
3 + b +1 = 4 rezultă b = 0, numărul este 301. Valori mai mari decât 3 nu se mai pot lua deoarece se depășește rezultatul 4
Varianta 2: a + b +3 = 4. Dăm valori lui a începând cu 1.
1 + b + 3 = 4 rezultă b = 4 - 4 =0, numărul este 103
Valori mai mari de 1 nu mai putem lua, deoarece se depășește rezultatul 4.
Suma acestor numere este 121 + 211 + 301 + 103 = 736
Soluția: E) 736
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu