Problemă cu paralelograme clasa a VII-a

Se consideră patrulaterul convex ABCD, M mijlocul laturii AB și N mijlocul laturii CD. Se construiesc paralelogramele ADEM și MBCF. Arătați că punctele E, N și F sunt coliniare, iar MN este mediană în triunghiul MEF.

Rezolvare:

Patrulaterul convex este patrulaterul în care toate unghiurile au măsuri mai mici de 180 grade.
Conform datelor problemei construim paralelogramul ADEM astfel: din punctul D ducem o paralelă la AM și din punctul M construim o paralelă la AD. Punctul de intersecție al celor două paralele îl notăm cu E.

La fel construim și paralelogramul MBCF: construim o paralelă la MB prin C și o paralelă la BC prin M. Punctul de intersecție al celor două paralele îl notăm cu F. Avem: CF paralelă cu MB și BC paralelă cu MF. 

 Cunoaştem proprietatea paralelogramului: Laturile opuse sunt congruente (şi egale) două câte două. Din această proprietate am trecut mai sus şi egalităţile între mărimile laturilor opuse.
Deoarece AM=MB (M este mijlocul lui AB, din ipoteză) rezultă:
AM = MB = DE = CF.
Pe de altă parte, deoarece în paralelogramul AMED, avem AM paralelă cu DE şi
în paralelogramul MBCF avem MB paralelă cu CF, iar AM şi MB sunt situate pe aceeaşi dreaptă AB rezultă că CF este paralelă cu DE.

Din ultimele relaţii şi privind figura, observăm că paralele CF şi DE sunt intersectate de dreapta CD.
CD este secantă. Cunoaştem proprietăţile dreptelor paralele tăiate de o secantă. Aici facem referire la unghiurile care se formează între dreapta secantă şi dreptele paralele. O pereche de unghiuri alterne interne congruente sunt unghiurile: EDN și NCF. Din relațiile de mai sus putem scrie congruența triunghiurilor EDN și NCF:

 

Rezultă că și celelalte elemente ale acestor două triunghiuri sunt congruente și egale două câte două.

  (1)

      La fel arătăm și congruența triunghiurilor DCF și DEC:

     Rezultă că și celelalte elemente ale acestor două triunghiuri sunt congruente și egale două câte două.

(2)

Din (1) și (2) și din ipoteză DN=NC, rezultă că și triunghiurile DNF și ECN sunt congruente

rezultă că și unghiurile DNF și ENC sunt congruente.

Din relațiile de mai sus, putem scrie:

Ultima relație ne arată că punctele F, N și E sunt coliniare ( măsura unghiului FNE este de 180 grade)

Iar congruența arătată mai sus FN=NE ne arată că MN este mediană în triunghiul MEF.