Ecuații cu module

Algebră clasa a VII-a , subiect de la Concursul național Lumina Math 2014

Dacă

și

atunci a + b = ?

Soluţie:   A)  13 ;                   B 2,2 ;                 C)   -2 ;                    D)   22/5 ;                       E)  -13;

Rezolvare:

Deoarece în cele două condiţii ale exerciţiului avem module, suntem obligaţi să explicităm aceste module pentru a putea lucra cu cele două relații.

Pe de altă parte, deoarece avem două necunoscute care sunt în modul, trebuie să considerăm toate combinaţiile acestor două necunoscute, despre care problema ne spune că sunt numere raţionale (Q) care pot fi şi pozitive şi negative.

Notă:

Ne reamintim ce înseamnă modulul unui număr. Modulul unui număr este valoarea absolută a acelui număr, adică numărul luat cu semnul plus. Dacă avem un număr pozitiv, valoarea lui absolută este egală cu numărul însuși, dacă numărul este negativ înmulțim numărul cu -1 pentru a avea valoarea lui absolută, altfel spus scriem numărul într-o paranteză și îi punem un minus în față.

Toate cele de mai sus le scriem astfel:

și numim această dezvoltare a modulului EXPLICITAREA MODULULUI  .

Vom scrie explicitarea ambelor module (renunțăm la cazul în care a și b ar fi egale cu zero deoarece este imposibil – observăm aceasta din simpla înlocuire cu zero a lui a și b în relațiile date de problemă).

                            

 Astfel vom avea următoarele variante pe care le vom analiza:

Dacă a şi b sunt amândouă mai mari ca zero  a> 0 şi b> 0

Dacă a şi b sunt amândouă mai mici ca zero a < 0 şi b< 0;

Dacă unul este pozitiv şi celălalt negativ a > 0, b<0  sau a<0 şi b>0.

Cazul I:

Dacă a şi b sunt amândouă mai mari ca zero  a> 0 şi b> 0, cele două module au valorile:

 Înlocuim aceste expresii ale modulelor în cele două relații date de problemă și obținem:

a +b + a = 12    și  a + b – b = 14  . Din a doua relație rezultă a = 14 (b-b=0) și  înlocuim această valoare a lui a în prima relație    14 +b + 14 = 12 . Rezultă b = - 16  . Acum calculăm a + b  și obținem

 a + b = -2.

Cazul II:

Dacă a și  b sunt amândouă negative a< 0  și b < 0 , cele două module au valorile

Înlocuim aceste expresii încele două relații date de problemă și obținem:

-a + b + a = 12   și  a  - b – b = 14   din prima relație rezultă b = 12  și din cea de-a doua  rezultă:

a -12 – 12 = 14 din care a = 24+14 = 38   iar a + b = 50 .

Cazul III:

Dacă a> 0  și    b < 0      cele două module sunt:

 

Înlocuim în cele două relații  și obținem:

a + b + a = 12    și   a  - b  - b  = 14  din prima în scoatem pe b în funcție de a

b =   12 – 2a și înlocuim în cea de-a doua:  a – 2 (12 - 2a) =  14  =>  a – 24 + 4 a = 14 =>

 5 a = 38 =>

Cazul IV:

Dacă a<0  și    b > 0      cele două module sunt: 

 

 Înlocuim în cele două relații  și obținem:

-a + b + a = 12    și   a  + b  - b  = 14  din prima obținem b = 12  și din cea de-a doua  a = 14, rezultă   a + b = 26

Interpretarea rezultatelor: Observăm că din cele 4 rezultate obținute, două dintre ele se regăsesc printre variantele de soluții prezentate în problemă. Mare atenție, regulamentul concursului Lumina Math spune că: dacă sunt mai multe rezultate posibile se va bifa doar unul dintre ele. Se poate deci alege fie C),  fie varianta D). Soluția pe  care o obțineți prima, o bifați și treceți mai departe la altă problemă!