Evaluare națională la matematică 2015 / Simulare / clasa a VII-a / Subiectul 2

EVALUAREA NAŢIONALĂ PENTRU ELEVII CLASEI a VIII-a - Subiectul al II-lea

Anul şcolar 2014 - 2015             Matematică          Simulare

Rezolvarea subiectelor de la Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice / Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Pentru subiectul I accesați Subiectul I Simulare evaluare națională la matematică 2015, clasa a VIII-a

SUBIECTUL al II-lea - Pe foaia de examen se scriu rezolvările complete. (30 de puncte)

5p.                 1. Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' .

Rezolvare: 

Explicație:

Paralelipipedul este prisma dreaptă cu baza un dreptunghi. Bazele prismei drepte sunt congruente. Deci ABCD și A’B’C’D’ sunt dreptunghiuri congruente și le notăm cu literele corespunzătoare astfel încât să avem muchiile laterale AA’, BB’, CC’ și DD’. 

5p.        2. Determinați numerele naturale de trei cifre, de forma

, știind că sunt divizibile cu 5 și au suma cifrelor egală cu 22 .

Rezolvare:

Când un număr este scris sub forma   (cu bară deasupra literelor) înțelegem că fiecare literă reprezintă o cifră (de la 0 la 9) iar bara ne arată că fiecare literă este așezată în poziția corespunzătoare scrierii în baza 10. Prima literă din dreapta este cifra unităților (litera c) , a doua cifră din dreapta este cifra zecilor (litera b), a treia cifră este cifra sutelor (litera a).

Știm că numerele divizibile cu 5 sunt acele numere care se termină în 0 sau în 5.

De aici rezultă că litera c, cifra unităților poate fi c = 0  sau c = 5.

Dacă c = 0 rezultă  suma cifrelor numărului devine :  a + b+ 0 = 22 . Deoarece a și b sunt cifre și pot  lua valoarea maxima 9, atunci  și suma a + b poate fi maxim 18, rezultă că 22 nu poate fi atins, deci acest caz este imposibil.

Dacă c = 5, rezultă că suma cifrelor a + b + 5 = 22 și obținem a + b = 17 . Din valorile posibile pentru cifrele a și b,  suma 17 se poate obține doar la adunarea lui 8 cu 9. Rezultă că a = 8 și b = 9 sau a = 9 și b = 8 (atunci când c = 5).

Deci numerele pot fi:

Soluție:  895 și 985

 

5p        3. Un elev citește o carte în două zile. În prima zi el citește 47% din numărul de pagini ale cărții, iar a doua zi citește cele 53 de pagini care au mai rămas. Calculați numărul de pagini ale cărții.

Rezolvare:

Presupunem că x este numărul de pagini ale cărții. Elevul citește în prima zi:

47% ·  x  pagini

În a doua zi citește restul de 53 de pagini.

Putem scrie numărul total de pagini ale cărții citite de elev:

 x = 47% ·  x + 53    => . x  - 47% ·x = 53  => x ( 1 – 47%) = 53  =>

Îl scriem pe 1 ca fiind 100% ( 100% = 100: 100) :

x ( 100% - 47%) = 53  => x ·53% = 53   => ( 53% = 53 : 100)

 53 x / 100 = 53 (înmulțim cu 100 întreaga ecuație) => 53x = 5300  => x = 5300 / 53 = 100

Soluție:  100 pagini

 4. Se consideră numerele reale  

și

5p.                a) Arătați că    

5p.                  b) Calculați x² - y .

Rezolvare:  Raționalizăm numitorii prin amplificare cu termenul care ne lipsește din descompune în factori a diferenței de pătrate  : a² – b² = (a –b) (a +b)  , apoi facem calculele:

 a) Calcuulăm ceea ce se cere în exercițiu:

 b) Calculăm ceea ce se cere în exercițiu:

5p.                5.     Se consideră     E(x) = (x2 + x +1)² - (x2 + x)² - x² , unde x este număr real. Arătați că E(n) este pătrat perfect, pentru orice număr natural n .

Rezolvare:   Aplicăm formula de descompunere în factori pentru prima diferență de pătrate, apoi aplicăm formula de restrângere a dezvoltării binomului la pătrat:

E(x) = (x² + x +1)² - (x² + x)² - x²= (x² + x +1+ x² + x)( x² + x +1- x² – x)-x² =

= (2x² + 2x +1)(1) – x² = 2x² + 2x +1-x² = x² + 2x +1 = (x +1)²

Dacă x ia orice valoare n din mulțimea numerelor natural vom avea:

E(n) = (n+1)² un număr natural care este pătrat perfect.