duminică, 7 februarie 2016

Problemă cu dreaptă perpendiculară pe plan / unghi diedru

Fie triunghiul ABC, m(C)=90o, m(BAC)=60o și AC 6 cm. Pe planul triunghiului ABC, în centrul cercului circumscris triunghiului, se ridică perpendiculara OM. Știind că MC = 6 √3 cm, calculați:
a)   Distanțele de la punctul M la laturile AC și BC;
b) Distanța de la O la planul (MBC);
c) Tangenta unghiului plan corespunzător diedrului format de planele (MBC) și (ABC);
d)  Cosinusul unghiului format de dreptele AC și MN, unde MN = d(M, BC).



marți, 2 februarie 2016

Exercițiu cu module și partea întreagă a unui număr real

Se consideră numărul real x care are partea întreagă egală cu 2. Arătați că
|x - 3| + |x - 2| = 1



luni, 11 ianuarie 2016

Test de verificare clasa a VIII-a (partea 1 /funcții și radicali)

Subiectul 1 / Partea 1 


1.       Rezultatul calculului:
este egal cu...................................................... 

2.       Dacă avem funcția
f: R -> R, f(x) = 2-ax și 


atunci  a este egal cu...........................................

3.     Dacă punctele A, B, C din sistemul de coordonate (xOy) desenat alăturat, sunt coliniare, atunci m este egal cu...............................................................



Rezolvare:

1.  Pentru acest exercițiu aplicăm formula de dezvoltare a unui binom la pătrat și formula de restrângere a produsului sumei prin diferență (deoarece o suma este comutativă / dacă schimbăm ordinea termenilor din adunare, rezultatul nu se modifică / atunci a+b = b+a, aplicăm această proprietate și apoi formula de restrângere)
Rezultatul calculului este  -2x + 6

2.

Dacă

 rezultă că pentru punctul A coordonatele sunt : xA = 1/a și yA = a și acest punct A aparține graficului funcției. De aici înțelegem că aceste coordonate ale punctului A verifică expresia funcției f(x) astfel: dacă înlocuim f(x) cu yA = a și x cu xA = 1/a atunci se obține o relație adevărată. Acea relație, este o ecuație de gradul întâi, din care se obține a=1
3. Dacă punctele A, B și C sunt coliniare, rezultă că aceste puncte au coordonate care satisfac expresia funcției. Astfel:

Fie funcția f(x) = ax +b
Punctul A are coordonatele (1,1) și acest punct aparține graficului funcției f(x). Aceasta înseamnă că:
La x=1 avem f(1) = 1 , ceea ce înseamnă:     1 = a + b       (relația 1)

Punctul B are coordonatele(2,3) și acest punct aparține, de asemenea graficului funcției f(x). Aceasta înseamnă că la x = 2 avem f(2) = 3, ceea ce înseamnă :     3 = 2a + b      (relația 2)

Pentru punctul C avem coordonatele (3, m+1) și acest punct aparține, de asemenea, graficului funcției f(x), ceea ce înseamnă că la x = 3 avem f(3) = m+1 ,ceea ce înseamnă:   m+1 = 3a+b       (relația 3).

Din relațiile 1, 2 și 3 obținem următoarele:
a + b = 1   =>    b = 1-a
2a + b = 3   =>   2a + 1-a = 3   =>  2a - a = 3 – 1  =>   a = 2    ;  b = 1 – a = 1 – 2 = -1
3a + b = m + 1  =>    m = 3a + b – 1 = 3*2 -1 -1 =  6 -2 = 4

Deci a = 2,   b = -1 ,    m = 4  , funcția f(x) = 2x -1 , iar punctul C are coordonatele (3, 5).

Rezultatul este m =4.

duminică, 3 ianuarie 2016

Evaluare națională la matematică 2015 / subiectul nr. 3 - rezolvare

În figura următoare este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu

și AB = 6 dm.  Punctul M este mijlocul laturii AD.

A)      Arătați că VM = 6 dm.

B)      Calculați câte grame de vopsea sunt necesare pentru vopsirea suprafeței totale a piramidei știind că pentru vopsirea unei suprafețe de un decimetru pătrat se folosesc 30g de vopsea.
Demonstrați că sinusul unghiului dintre planul (VAD) și (VBC) este egal cu

 

duminică, 6 decembrie 2015

Probleme de la concursul național de matematică Lumina Math 2013, clasa a V-a (partea 1)

1. Soldații stau aliniați pe rânduri și coloane, în formație dreptunghiulară. În fața lui Ghiță, pe aceeași coloană sunt 3 soldați și în spatele lui 5. În stânga lui Petre, pe același rând sunt 6 soldați și în dreapta lui 4. Câți soldați sunt în formație?
A) 39;                 B) 60;                  C) 80;                  D) 99;                    E) imposibil de determinat

2. Cu toate cifrele de la 1 la 6, folosite o singură dată, se pot forma două numere de trei cifre (de exemplu  645 și 321) . Diferența minimă a două astfel de numere este:

A) 69;          B) 56;            C) 111;             D) 47;            E) 38.

3. Suma cifrelor unui număr de două cifre se scade din număr, iar rezultatul are cifra unităților egală cu 6.Câte numere de două cifre au această proprietate?

 A) 1;          B) 2;             C) 5;             D) 10;              E) 6.

4. Suma tuturor numerelor impare de trei cifre care au suma cifrelor egală cu 4 este:

A) 435;      B) 512;      C) 615;     D) 633;    E) 736.

sâmbătă, 5 decembrie 2015

Probleme de la concursul de matematică Lumina Math 2013 – Clasa a IV-a (partea 1)

Probleme de la concursul de matematică Lumina Math 2013 – Clasa a IV-a

1. Câte numere pare sunt cel mult egale cu 31?     

A) 16; B) 15; C) 14; D) 18; E) 17

2. Ordonați într-un șir descrescător numerele


știind că 4 < a < b. Care este al treilea număr din șir?

 

3. Câte numere de forma


unde a poate fi egal cu b, au suma cifrelor un număr impar?

A) 90              ; B) 40;              C) 81;                D) 45;                E) 10.


4. Se dă șirul de numere: 12, 223, 3334, 44445, ...

Care este suma cifrelor numărului din șir care se află pe locul 100?

A) 10101;         B) 102;          C) 10102;      D) 101;           E) 10002.

miercuri, 25 noiembrie 2015

Problemă cu cerc înscris în triunghi


Geometrie clasa a VII-a
Problema următoare mi-a trimis-o un elev cu rugămintea de a o rezolva și explica.

Calculați lungimile segmentelor determinate de vârfurile unui triunghi și punctele de tangență ale cercului înscris în triunghi ,dacă lungimile laturilor triunghiului sunt de: 12 cm, 8 cm, 9cm.
Rezolvare:

Fie triunghiul ABC cu laturile AB = 8 cm, AC = 9 cm și BC = 12cm. Construim bisectoarele unghiurilor A, B și C. La intersecția bisectoarelor vom avea centrul cercului înscris în triunghi, punctul I.
Construim din centrul cercului perpendicularele pe laturile triunghiului. Notăm punctele M, N și P.
Aceste puncte sunt punctele de tangență ale cercului cu triunghiul ABC.


În triunghiurile API și ANI observăm:  
AB și AC sunt tangente la cerc, IP ^  AP, IN  ^  AN ,
AI este bisectoarea unghiului A , PAI =NAI  și
AI este latură comună, rezultă că triunghiurile sunt congruente
ΔANI = ΔAPI . De aici rezultă că AP = AN = x.
În același mod demonstrăm că BP = BM =y  și CM = CN =z.
Deoarece AB = AP+BP = x +y = 8
AC = AN+NC = x + z = 9 cm
BC = BM + CM = y + z = 12 cm.
Deoarece cunoaștem laturile triunghiului, putem calcula perimetrul acestuia.
P = AB +BC + CA = 8 + 9 +12 = 29 cm
Dar perimetrul este egal și cu P = x + y + x + z + z + y = 2x +2y +2z =29 cm.
Împărțim prin 2 și obținem: x +y +z = 14,5 cm.
Înlocuim x+ y cu 8 (din relația lui AB) și obținem z = 14,5 – 8 = 6,5 cm.
Înlocuim x +z cu 9 (din relația lui AC) și obținem y = 14,5 – 9 = 5,5 cm.
Din relația lui BC = y + z = 12 obținem x = 14,5 – 12 = 2,5 cm.
Soluția problemei: x = 2,5 cm,  y = 5,5 cm și z = 6,5 cm.