Distanța dintre ortocentru și centrul de greutate

Problemă de la Concursul național Lumina Math 2014 / clasa a 8-a

Triunghiul dreptunghic ABC are măsura unghiului A de 90 grade și BC = 12 cm. Atunci distanța de la ortocentrul triunghiului la centrul de greutate al triunghiului este:

A) 2 cm;               B) 3 cm;          C) 4 cm;               D) 5 cm;             E) 6 cm.





Construim un triunghi dreptunghic cu unghiul A de 90 de grade și BC de 12cm.

Construim ortocentrul triunghiului astfel:
 Deoarece cunoaștem că ORTOCENTRU se numește punctul de intersecție al înălțimilor unui triunghi, vom construi înălțimea din vârful A al triunghiului ca perpendiculara din A pe latura opusă BC și o notăm AD. Construim perpendiculara din vârful B al triunghiului pe latura opusă AC și observăm că aceasta este confundată cu latura BA a triunghiului dreptunghic. Deci înălțimea din B este chiar latura BA. La fel, și pentru înălțimea dusă din vârful C. Când coborâm perpendiculara din C la latura opusă aceasta este confundată cu latura CA.  Cele trei înălțimi AC, AB și AD au un singur punct comun și acesta este chiar punctul A, vârful triunghiului dreptunghic. Ortocentrul triunghiului dreptunghic este vârful triunghiului unde se găsește unghiul drept al triunghiului.
Construim și centrul de greutate. Cunoaștem că CENTRUL DE GREUTATE al triunghiului este punctul de intersecție al medianelor triunghiului. Mediana este un segment care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse acelui vârf.
 Medianele au două proprietăți foarte interesante.
1. Medianele unui triunghi (orice fel de triunghi) se intersectează întotdeauna într-un punct unic care este situat, pe fiecare din cele trei mediane, la o distanță egală cu două treimi din mediană măsurată față de vârful din care pleacă mediana, sau la o treime din mediană măsurată față de latura pe care se duce mediana.
2. O altă proprietate a medianei (doar pentru triunghiul dreptunghic) este că mediana dusă din unghiul drept al triunghiului dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză.
Construim medianele AA1, BB1și CC1 și notăm cu G punctul lor de intersecție.
Deoarece BC este ipotenuza triunghiului dreptunghic de 12 cm atunci, din proprietatea a doua rezultă că AA1 = BC/2 = 12/2 = 6 cm.
Din proprietatea 1 distanța de la G la vârful A este egală cu 2/3 din mediană. Astfel:
AG = (2/3) AA1 = (2/3) 6 = 12/3 = 4 cm

Deci: distanța de la ortocentru la centrul de greutate este AG = 4 cm.

Soluția:   C) 4 cm