Clasa a X-a, Algebră , vectori

 Fie vectorii

a) Pentru a = -1 și b = 4 calculați:

 

 b) Pentru a = 4, determinați:

astfel încât

Rezolvare:

Avem în exercițiu doi vectori exprimați prin versorii lor (formula analitică)

a) Pentru a = -1 și b = 4 vectorii sunt

Produsul scalar dintre doi vectori exprimați analitic se calculează astfel:

 Reamintim că versorii i și j sunt perpendiculari, au unghi de 90 de grade între ei și cosinusul unghiului de 90 este egal cu zero, iar versorul i cu el însuși formează un unghi de 0 grade. La fel pentru j cu el însuși. Rezultă că:

b) Pentru a = 4, determinați

astfel încât:

Dacă cei doi vectori sunt perpendicular, rezultă că unghiul dintre ei este de 90 grade și cos 90 = 0. Deci produsul scalar al celor doi vectori este egal cu zero.Calculăm produsul scalar folosind expresiile analitice ale celor doi vectori, pentru a = 4 și rezultatul îl egalăm cu zero.

Algebra - vectori (1), clasa a X-a

 Test algebra clasaX-a

Fie triunghiul ABC,

a)   Calculați

b)     Aflați R =? (raza cercului circumscris triunghiului ABC)

 

Rezolvare:

Avem un triunghi ABC pentru care cunoaștem mărimile laturilor. Observăm că valorile respect terorema lui Pitagora AB²+AC²=BC² ;(3²+3²=3²·2).

Deci, AB și AC sunt perpendicular, unghiul dintre ele fiind de 90 grade (π /2);

Problema ne cere să aflăm produsul scalar dintre vectorii AB și BC.

Formula pentru calculul produsului scalar dintre doi vectori este:

(1)

Reamintim că simbolul pentru produsul scalar este un punct “·”, iar produsul vectorial are simbolul de cruce “x”).

Unghiul dintre vectorii AB și BC îl aflăm astfel: construim un vector paralel cu vectorul BC cu originea în punctul A. unghiul dintre acest vector AC’ și vectorul AB este egal cu

π/2 +π/4 = 3π/4.

Aplicând formula 1, obținem:

Radicali suprapuși

Fie numărul a:

Calculați valoarea lui a³

Soluție:

Notăm primul radical cu M și cel de-al doilea radical cu N, deci a = M+N

Notăm : A = 4 și B = 12

Folosim formula de descompunere a radicalilor suprapuși:

În această formulă:

Dacă acest radical nu se extrage exact, atunci formula nu o putem aplica.

În cazul nostru, pentru A=4 și B=12, obținem

ceea ce înseamnă că putem face descompunerea astfel:

Procedăm la fel și pentru N:

Folosim formula de descompunere a radicalilor suprapuși:

Formulă pentru care C se calculează la fel 

În cazul nostru, pentru A= 7 și B=48, obținem

ceea ce înseamnă că putem face descompunerea astfel:

Acum, revenim la numărul inițial a = M + N pentru care folosim rezultatele obținute pentru M și N.

TEST algebră - model propus pentru evaluarea națională 2017

Subiectul I

(5p)    1. Rezultatul calculului 10 + (3 + 7) :10 este egal cu …..

(5p)   2. Șase caiete de același fel costă în total 18 lei. Trei dintre aceste caiete costă în total……
(5p)   3. Cel mai mare număr natural de două cifre este egal cu … .
(5p)    4. În triunghiul echilateral ABC, măsura unghiului ABC este egală cu …° .
(5p)    5. În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat ABCD , cu BC = 5cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului ABCD este egală cu …cm .  

Radicali - problemă de la olimpiadă etapa județeană

  Arătați că numărul a, din expresia de mai jos, este natural:

 

 (Un subiect de la Olimpiada Națională de Matematică  -clasa a VII-a – etapa județeană și a Municipiului București, 2015 – Gazeta Matematică)

Test evaluare algebră clasa a VI-a -semestrul I

1.  Rezolvați calculul următor: 2³×2²:2⁴ -2 =
2.  Calculați:

3.      Determinați cel mai mic număr natural nenul care împărțit la 5, 8 și respectiv 10, dă resturile 4, 7, respectiv 9.

4.       Aflați elementele mulțimii

5.       Arătați că numărul A=3×2ⁿ+2ⁿ⁺¹+5×2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺³ este divizibil cu 23, pentru orice n număr natural.

Test de evaluare la matematică, semestru I, clasa a V-a

                                      1.       Calculați

                                 pentru:
                               a)    

                                                         a = 5² – 4² ; b = 4¹⁰ : 4⁹ -4⁰;

                               b)    

                                                           a = 2,4; b = 1,6;

                                c)    

 

2.       Determinați valoarea de adevăr a propozițiilor:

      a) Mulțimea 

       

are 4 numere raționale pozitive.

b) 0 ∈ Ø;

c) 57 ∈ { 19k / k∈ N};

d)  5 / 553.

 

     3)   Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile: a = 10 cm, b = 1,2 dm, c = 0,08 m. Calculați ariile fețelor paralelipipedului și volumul acestuia. Încape un litru de apă în acest paralelipiped?
         4)   Scrieți toate numerele de forma  , cu x cifră.