A1. Determinaţi ultima cifră a unui număr

1. Fie numerele naturale x, y, z, u care verifică egalitatea: 7x + 5y - 2z  -2u = 0. Determinaţi ultima cifră a numărului  A = (11x + 9y) * (z + u - x) .

Soluţie:

Problema ne dă o egalitate între numerele x,y, z şi u. Dacă ne uităm bine la această egalitate observăm că putem să o prelucrăm puţin trecând în partea dreaptă, cu semn schimbat 2z şi 2u.

7x + 5y  = 2z + 2u . Aici putem scoate factorul comun  2.
7x + 5y = 2 ( z + u).

Din această formă a relaţiei observăm următoarele: în partea dreaptă avem 2 înmulţit cu o paranteză, ceea ce înseamnă că acest produs este un număr par. Dacă în partea dreaptă avem un număr par...atunci şi în partea stângă avem tot un număr par! Deci 7x + 5y este un număr par.
Aici observăm că avem o sumă care este număr par. Cum obţinem un număr par la adunare? doar dacă adunăm două numere pare sau două numere impare. Cum 7 şi 5 sunt impare, rezultă că x şi y sunt fie amândouă pare, fie amândouă impare (altfel spus: au aceeaşi paritate). De aici tragem concluzia că suma
x + y este un număr par (dacă adunăm două numere pare obţinem număr par, sau dacă adunăm două numere impare obţinem tot un numă par)

Ce ne cere problema?
Utima cifră a numărului A! Numărul A este un produs dintre două paranteze. În cea de-a doua paranteză vedem că z este adunat cu  u ...şi acestă sumă  (z + u) o avem în egalitatea din ipoteză doar că este înmulţită cu 2.
Pentru a putea să folosim egalitatea din ipoteză facem şi noi o înmulţirecu 2 a numărului A. Şi obţinem:
2 A  = (11x + 9 y) * 2 * (z + u - x) = (11x + 9 y) * (2(z + u) - 2 x) = (11x + 9 y) * (7 x + 5 y  - 2 x) = (11x + 9 y) *(5x + 5y) = (11x + 9 y) *5 (x + y)
Am demonstrat că x şi y au aceeaşi paritate şi x + y este număr par, deci divizibil cu 2
Pentru paranteza 11x + 9y observăm:
dacă x şi y sunt pare, 11x + 9y este număr par, deci divizibil cu 2,
dacă x şi y sunt impare, 11 x este impar, 9y este impar, iar suma a două numere impare este întotdeauna un număr par, deci 11 x + 9y este divizibil cu 2.
Rezultă că numărul  2 A este divizibil cu 2 de la paranteza 11x + 9y, încă o dată cu 2 de la paranteza x+y şi cu 5. Deci numărul A este divizibil cu 2 şi cu  , deci cu 10. Având în vedere criteriul de divizibilitate cu 10 (orice număr care are ultima cifră 0 este divizibil cu 10), ultima cifră a numărului A este 0.