A3. Aflaţi ultimele două cifre

3. Aflaţi ultimele două cifre ale numărului:

A = 7 + 7² + 7³ + …..+7²⁰¹³ + 7²⁰¹⁴.

Rezolvare:

Calculăm câteva dintre puterile lui 7:

7¹ = 7

7² =  49

7³ = 343

7⁴ = 2401

Înmulţind în continuare cu 7 (7⁵ = 16807....) , se observă că ultima cifră a puterilor lui 7 se repetă din 4 în 4.

Pe de altă parte adunând ultima cifră de la primele 4 puteri ale lui 7 se obţine ultima cifră 0 …şi dacă adunăm valorile primelor patru puteri ale lui 7 se obţine:

7¹ +  7² + 7³ + 7⁴ = 7 + 49 + 343 + 2401 = 2800

Deci suma primelor 4 puteri ale lui 7 este un număr ale cărui ultimele două cifre sunt 0.

Pentru următoarele 4 puteri ale lui 7 :

7⁵ + 7⁶ + 7⁷ + 7⁸  observăm că se poate scoate factor comun 7⁴ astfel:

7⁵ + 7⁶ + 7⁷ + 7⁸   = 7⁴ (7¹ +  7² + 7³ + 7⁴)  = 7⁴ ∙ 2800 care este un număr cu ultimele două cifre egale cu 0.

Grupăm în continuare puterile lui 7 câte 4. Deoarece ultima putere are exponentul 2014 şi acest 2014 este egal cu  4 ∙ 503 + 2 rezultă că vom putea forma 503 grupe în care, cu ajutorul factorului comun, obţinem paranteza (7¹ +  7² + 7³ + 7⁴ ) care este egală cu 2800 şi în concluzie toate aceste 503 grupe adunate vor conduce la un număr care are ultimele două cifre egale cu zero. 

Deoarece rămân în afara grupelor 7²⁰¹³ + 7²⁰¹⁴ acestea vor da ultimele două cifre ale numărului A.

Calculăm astfel:

7²⁰¹³ + 7²⁰¹⁴   = 7²⁰¹² ( 7¹ + 7² ) = 7 ^{4 ∙∙503} ( 7 + 49) = (7⁴)⁵⁰³  ∙ 56 = 2401 ⁵⁰³ ∙ 56

Observăm că 2401 ridicat la orice putere are ultimele două cifre 01  şi prin înmulţirea cu 56 ultimele două cifre vor fi 56.

A1. Determinaţi ultima cifră a unui număr

1. Fie numerele naturale x, y, z, u care verifică egalitatea: 7x + 5y - 2z  -2u = 0. Determinaţi ultima cifră a numărului  A = (11x + 9y) * (z + u - x) .

Soluţie:

Problema ne dă o egalitate între numerele x,y, z şi u. Dacă ne uităm bine la această egalitate observăm că putem să o prelucrăm puţin trecând în partea dreaptă, cu semn schimbat 2z şi 2u.

7x + 5y  = 2z + 2u . Aici putem scoate factorul comun  2.
7x + 5y = 2 ( z + u).

Din această formă a relaţiei observăm următoarele: în partea dreaptă avem 2 înmulţit cu o paranteză, ceea ce înseamnă că acest produs este un număr par. Dacă în partea dreaptă avem un număr par...atunci şi în partea stângă avem tot un număr par! Deci 7x + 5y este un număr par.
Aici observăm că avem o sumă care este număr par. Cum obţinem un număr par la adunare? doar dacă adunăm două numere pare sau două numere impare. Cum 7 şi 5 sunt impare, rezultă că x şi y sunt fie amândouă pare, fie amândouă impare (altfel spus: au aceeaşi paritate). De aici tragem concluzia că suma
x + y este un număr par (dacă adunăm două numere pare obţinem număr par, sau dacă adunăm două numere impare obţinem tot un numă par)

Ce ne cere problema?
Utima cifră a numărului A! Numărul A este un produs dintre două paranteze. În cea de-a doua paranteză vedem că z este adunat cu  u ...şi acestă sumă  (z + u) o avem în egalitatea din ipoteză doar că este înmulţită cu 2.
Pentru a putea să folosim egalitatea din ipoteză facem şi noi o înmulţirecu 2 a numărului A. Şi obţinem:
2 A  = (11x + 9 y) * 2 * (z + u - x) = (11x + 9 y) * (2(z + u) - 2 x) = (11x + 9 y) * (7 x + 5 y  - 2 x) = (11x + 9 y) *(5x + 5y) = (11x + 9 y) *5 (x + y)
Am demonstrat că x şi y au aceeaşi paritate şi x + y este număr par, deci divizibil cu 2
Pentru paranteza 11x + 9y observăm:
dacă x şi y sunt pare, 11x + 9y este număr par, deci divizibil cu 2,
dacă x şi y sunt impare, 11 x este impar, 9y este impar, iar suma a două numere impare este întotdeauna un număr par, deci 11 x + 9y este divizibil cu 2.
Rezultă că numărul  2 A este divizibil cu 2 de la paranteza 11x + 9y, încă o dată cu 2 de la paranteza x+y şi cu 5. Deci numărul A este divizibil cu 2 şi cu  , deci cu 10. Având în vedere criteriul de divizibilitate cu 10 (orice număr care are ultima cifră 0 este divizibil cu 10), ultima cifră a numărului A este 0.