Geometrie (clasa
a 7-a și clasa a 9-a)
Să se demonstreze că, într-un triunghi dreptunghic cu un
unghi de 300, lungimea bisectoarei unghiului drept este jumătate din
lungimea bisectoarei unghiului de 300.
Construim
triunghiul ABC cu măsura unghiului A de 90 grade și măsura unghiului B de 30
grade. Apoi construim bisectoarea unghiului drept A și o notăm cu AD (punctul D
aparține lui BC) și bisectoarea unghiului B pe care o notăm cu BE (punctul E
aparține lui AC) .
Problema cere să demonstrăm că
AD = BE / 2
Pentru a demonstra ne folosim de o construcție ajutătoare:
ducem prin punctul B o paralelă la AD până intersectează prelungirea lui AC și
notăm punctul de intersecție cu F.
Din AD paralelă cu BF observăm că avem mai multe unghiuri
congruente. În primul rând corespondente sunt CAD și CFB si egale cu 45 grade.
Alterne interne sunt DAB si ABF si egale tot cu 45 grade.
Tinând cont de BE că este bisectoare si împarte unghiul de
30 grade în două părți egale cu 15 grade, putem să calculăm măsurile altor
unghiuri. Astfel:
FBE va fi de 45+15 = 60 grade, iar
FBC va fi de 45+30 = 75 grade. Si unghiul BEF va fi de
180 – 45 – 60 = 75 grade sau AEB = 90-15=75 grade.
Observăm că avem 3 triunghiuri care au unghiurile
congruente două câte două. Aceastea sunt
ACD , BEF și BCF. Deci aceste triunghiuri sunt asemenea
și putem scrie rapoartele de asemănare. Astfel:
Tr. ACD asemenea cu tr. FCB:
CA / CF = AD / FB = CD / CB (1)
Tr. FBE asemenea cu tr. FCB:
BE / BC = FE / BF = BF / CF (2)
Din prima egalitate a relației 1 îl putem exprima pe AD
astfel: AD = FB * CA / CF (3)
Deoarece triunghiul ABC dreptunghic are un unghi de 30
grade, inseamnă că avem cateta opusa unghiului de 30 grade egală cu jumătate
din ipotenuză. AC= BC/2 (4)
Dacă introducem relația 4 în relația 3 obținem:
AD = (FB / CF) * (BC / 2 ) (5)
Dar în relația 2 avem
BF / CF = BE / BC. Înlocuim această valoare a raportului BF/CF în
relația 5 și obținem:
AD = (BE / BC) * (BC/2) = BE / 2.
Ceea ce trebuia demonstrat.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu