G2. Linii importante în triunghi

G2.

Fie triunghiul ABC cu măsura unghiului A mai mică de 90⁰ . Pe latura (AC) se ia un punct D astfel încât 

(BA) ≡ (BD) şi pe latura (AB) se ia un punct E astfel încât (CA) ≡ (CE). Notăm cu M mijlocul lui (AE) şi cu N mijlocul lui (AD) şi fie {P}= CM ∩ BN. Arătaţi că

 

Rezolvare: 

Din datele problemei (ipoteza)  avem (BA) ≡ (BD) rezultă că triunghiul ABD este isoscel (are două laturi congruente şi prin urmare are şi unghiurile alăturate bazei tot congruente). 

În acest triunghi isoscel se construieşte punctul N la jumătatea lui AD. De aici rezultă că (AN) ≡ (ND) . 

În triunghiul isoscel ABD avem segmentul BN care uneşte vârful B al triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse vârfului B. Rezultă că BN este mediana dusă din vârful triunghiul ABD. Cunoaştem de la proprietăţile liniilor importante ale triunghiului isoscel că mediana dusă din vârful triunghiului isoscel (vârful din care pleacă laturile congruente) este, totodată, înălţime, mediatoare şi bisectoare deoarece triunghiurile ABN şi BND sunt congruente (cazul de congruență LUL, deoarece AB este congruent cu BD, din ipoteză, unghiurile BAN și BDN sunt congruente în triunghiul isoscel ABD și AN este congruent cu ND, din ipoteză).   Din congruența triunghiurilor ABN și BND rezultă că unghiurile BNA și BND sunt congruente. Deoarece suma acestor unghiuri BNA și BND este un unghi alungit, cu măsura de 180 de grade, rezultă că unghiul BNA = unghiul BND = 90 grade. În concluzie BN este perpendiculară pe AD şi este înălţimea dusă din vârful B pe latura opusă în triunghiul ABD. De asemenea BN este înălțime și în triunghiul ABC. fiind perpendiculara din vârful triunghiului dusă pe latura opusă AC, deoarece punctele A, D și C sunt coliniare).

     

În triunghiul ACE, avem  (CA) ≡ (CE), din datele problemei, rezultă că triunghiul ACE este isoscel. Deoarece triunghiul ACE este isoscel, unghiurile formate de bază cu laturile congruente sunt, la rândul lor, congruente: unghiul CAM = unghiul CEM . Punctul M este la mijlocul bazei triunghiului ACE, deci CM este mediană. Mediana dusă din vârful triunghiului isoscel  (vârful din care pleacă laturile congruente) are proprietatea de a fi mediatoare, înălţime şi bisectoare, deoarece triunghiul CME este congruent cu triunghiul CMA (cazul de congruență a triunghiurilor LUL : CA și CE sunt conguente, conform ipotezei,  unghiurile CEM și CAM sunt congruente in triunghiul isoscel CAE și AM = ME, conform ipotezei)
Rezultă că si celelalte elemente ale triunghiurilor CME și CAM sunt la rândul lor congruente două câte două, cum sunt  unghiul CMA și unghiul CME. Suma acestor două unghiuri este de 180 grade, deci fiecare dintre ele va avea măsura de 90 grade. Rezultă că CM este perpendiculară pe AE, sau în triunghiul ACE, CM este înălținea dusă din vârful C pe latura opusă AE. Dar CM este înălțime și în triunghiul ABC fiind prependiculara dusă din vârful C pe latura opusă AC (punctele A, C și E sunt coliniare).

   

În triunghiul ABC, observăm acum că

sau     (deoarece A, D şi C sunt coliniare)...BN este o înălţime în triunghi

sau (deoarece A, B şi E sunt coliniare)... CM este cea de-a doua înălţime a triunghiului

{P}= CM ∩ BN 

Punctul de intersecţie al înălţimilor unui triunghi este un punct unic. Acest punct se numeşte ortocentru.

{P}aparţine segmentului AR, rezultă că AP este tot înălţime .