Subiectul 2/4 - evaluare naţională 2013-2014 - clasa a VIII-a

Subiectul 2.4 – evaluări naţionale 2013-2014 clasa a VIII-a

Se consideră funcţia   f: R —> R, f(x) = p x + q, unde p  şi  q sunt numere reale.

a)      determinaţi numerele reale p şi q ştiind că f(1) =1  şi  f(2) = -1

b)      pentru p=-2  şi  q=3, repezentaţi graphic funcţia în sistemul de coordinate xOy.

Rezolvare:

Funcţia f(x) = p x + q, este o funcţie de gradul întâi (deoarece puterea necunoscutei x este egală cu 1).

Condiţiile date de problemă  ne arată că atunci când necunoscuta x ia valoarea 1 (sau dacă înlocuim pe x cu 1) se obţine o valoare a funcţiei f egală cu 1 şi atunci când x ia valoarea 2 se obţine o valoare a funcţiei f egală cu -1.

Scriem astfel:

f(1) =1  => 1 = p ∙ 1 + q

f(2) = -1 => -1 = p ∙ 2 + q

Aceste două relaţii trebuie să fie valabile simultan (în acelaşi timp) deoarece în textul problemei este pus un “şi” între ele . Acest “şi” ne arată că trebuie să rezolvăm ecuaţiile în sistem de două ecuaţii cu două necunoscute.

Rezolvarea sistemului ne duce la valorile p şi q cerute de problemă.

 Pentru valorile obţinute expresia funcţiei este:

f(x) = -2 x +3

c)      Cerinţa cuprinde chiar valorile pentru p şi q aflate la punctul a).

Pentru a reprezenta grafic funcţia de gradul întâi avem nevoie de două puncte. Deoarece graficul funcţiei de gradul I este o dreaptă, şi noi ştim că o dreaptă este determinată (se poate desena) dacă cunoaştem cel puţin două puncte ale dreptei, vom folosi aşa numitele puncte de intersecţie cu axele de coordonate (sau ..se mai spune trasarea graficului prin tăieturi)...Ce înseamnă punctele de interesţie cu axele de coordonate?

În primul rând, axele de coordonate au următoarele proprietăţi:

1)      sunt două drepte infinite şi perpendiculare în punctul notat cu O.

2)      Toate puctele din plan pot fi desenate cu ajutorul a două distanţe ..distanţa faţă de Oy ..şi distanţa faţă de Ox şi se notează M(x_M, y_M) citim: punctul M de coordonate x_M şi y_M)

3)      Distanţa de la un punct la axa Oy se numeşte abscisa punctului (sau coordonata x a punctului).. adică x_M

4)      Distanţa de la un punct la axa Ox se numeşte ordonata punctului (sau coordonata y a punctului)..adică y_M

5)      dreapta Ox este axa de coordonate numită abscisă şi toate punctele care aparţin acestei drepte au coordonatele (x_M, 0) ...litera M este luată doar de exemplu...

6)      dreapta Oy este axa de coordonate numită “ordonată” şi toate punctele care aparţin acestei drepte coordonatele (0, y_M )

Când o dreaptă intersectează axele de coordonate …se întâmplă următoarele:

Când intersectează axa Oy …găsim un punct care aparţine şi graficului funcţiei, dar şi axei de coordonate Oy…deci acest punct, notat de exemplu cu litera A are coordonata x egală cu 0. Ceea ce înseamnă că dacă în expresia funcţiei îl înlocuim pe x_A cu 0 obţinem coordonata y_A  a punctului A.

Scriem:   x_A  = 0  =>   y_A = f(x_A) = f(0) = -2 ∙ 0 + 3 = 3 . deci punctual A ( 0 ; 3)

Când intersectează axa Ox …găsim un punct care aparţine şi graficului funcţiei, dar şi axei de coordonate Ox…deci acest punct, notat de exemplu cu litera B are coordonata y egală cu 0. Ceea ce înseamnă că dacă în expresia funcţiei îl înlocuim pe y_B cu 0 obţinem coordonata x_B  a punctului B.

Scriem:   y_B  = 0  =>   y_B = f(x_B) =  -2 ∙ x_B + 3 = 0 => -2 ∙ x_B = - 3  => x_B = 3/2

deci punctual B ( 3/2 ;  0)

Desenăm axele de coordonate, punctele A şi B. Unim punctele A şi B cu o dreaptă. Această dreaptă este graficul funcţiei.