Subiectul 3.2 / evaluare naţională 2013-2014 - Clasa a VIII-a

3.2 În figura este reprezentat schematic un acvariu în formă de prismă dreaptă cu baza un pătrat, care are latura bazei de 8 dm şi muchia laterală de 5 dm. Feţele laterale ale acvariului sunt confecţionate din sticlă. Baza acvariului este confecţionată dintr-un alt material. Acvariul nu se acoperă. În acvariu se află apă până la înălţimea de 4 dm (se neglijează grosimea sticlei) .

a)      Calculaţi câţi litri de apă sunt în acvariu;

b)      Calculaţi câţi metri pătraţi de sticlă sunt necesari pentru a confecţiona 100 de acvarii, care au dimensiunile precizate în enunţ;

c)      Arătaţi că, în orice moment, distanţa dintre doi peşti este mai mică sau egală cu 12 dm.

Rezolvare:

Ne amintim:
Noţiunea de prismă – prisma este un corp geometric (poliedru) mărginit de feţe plane, dintre care două poligonale sunt egale (congruente) şi paralele şi se numesc baze, iar celelalte în formă de paralelograme, formează feţele laterale. Totodată muchiile laterale ale prismei sunt paralele între ele. Înălţimea prismei este egală cu distanţa dintre planele bazelor. Aria bazei prismei este egală cu aria poligonului care este la bază. Aria laterală a prismei este egală cu suma ariilor paralelogramelor feţelor laterale.

Când prisma este dreaptă, este un caz particular, feţele laterale sunt dreptunghiuri şi acestea sunt în plane perpendiculare pe bazele prismei. La prisma dreaptă înălţimea prismei este egală cu muchia laterală. Aria laterală a prismei drepte este egală cu perimetrul bazei înmulţit cu înălţimea prismei (=muchia laterală).

Volumul prismei este egal cu aria bazei înmulţită cu înălţimea prismei.

Cum rezolvăm:

a)      Baza prismei este un pătrat cu latura de 8 dm (decimetri). Deci aria bazei este.

A_ABCD  = 8² = 64 dm²

Muchia laterală este de 5 dm dar apa din acvariu se ridică până la înălţimea de     AM = h = 4dm.

Volumul de apă din acvariu: V = A_ABCD ∙ h = 64 ∙ 4 = 256 dm³.    Soluție V= 256 dm^3.

Deoarece 1 dm³ = 1 litru volumul de apă în litri este de 256 litri.

b)      Pentru a calcula câţi metri pătraţi de sticlă sunt necesari la confecţionarea unui acvariu, avem nevoie să calculăm aria laterală a acestei prisme, deoarece problema spune că baza acvariului se confecţionează din alt material iar sus, acvariul rămâne descoperit. Aria laterală este constituiă din ariile celor 4 pereţi  ai acvariului care sunt dreptunghiuri egale (o latură de 8 dm de la bază şi înălţimea de 5 dm de la înălţimea acvariului)

A_lat  = P_ABCD ∙ AA’  = 4 ∙ 8 dm ∙ 5 dm = 160 dm² de sticlă

Pentru 100 de acvarii este necesară o cantitate de 100∙ 160 dm² = 16 000 dm² sticlă.

Deoarece problema cere exprimare în metri pătraţi, vom face transformarea unităţii de măsură astfel:

1 m² = 100 dm² rezultă că 1 dm²  =  0,01 m².

Necesarul de sticlă este egal cu = 16000 dm² = 0,01 ∙ 16000 m² = 160 m² de sticlă.
  Soluție: 160 m² de sticlă

c)      La acest punct se cere să arătăm că, în orice moment distanţa dintre doi peşti, este mai mică sau egală cu 12 dm.

Înţelegem că distanţa dintre doi peşti nu poate fi mai mare de 12 dm…Deci cât de depărtaţi pot sta doi peşti în acvariu?…Cea mai mare distanţă între două puncte ale prismei (corespunzătoare volumului de apă) este pe diagonala prismei care poate fi AM (cu M am notat nivelul apei din acvariu AM = h = 4 dm)

AM ² = AB ²  + BC² + h² = 8² + 8² + 4² =  144 dm² . De unde prin extragerea radicalului rezultă că  AM = 12 dm.

Distanţa dintre doi peşti este întotdeauna mai mică sau cel mult egală cu 12 dm

D ≤ 12 dm