Problemă cu triunghiul isoscel

Fie triunghiul ABC, în care AB<AC. Fie punctele D şi E

 astfel încât  

  Perpendicularele din B şi D pe bisectoarea   unghiului BAC intersectează dreapta AC în F şi respectiv G.
a) demonstraţi că triunghiul ABF este isoscel;
b) demonstraţi că     

Demonstrație:

Pentru a construi figura ne folosim de următoarele notaţii

Observăm că triunghiurile AMB şi AMF sunt congruente deoarece:

 din această congruenţă (cazul de congruență catetă unghi)  rezultă că şi celelalte elemente ale celor două  triunghiuri sunt congruente:

Pentru punctul b) observăm că triunghiurile AND şi ANG sunt congruente (cazul catetă unghi) deoarece:

Pentru a exprima măsura segmentului FG umărim să calculăm cele două segmente care adunate formează segmentul FG= FC + CG. În acest scop ne folosim de notațiile următoare:

Observăm că relația AD =AG de mai sus pe AD îl scriem ca sumă de segmente AB și BD, iar CF ca diferență de segmente AC și AF. AE este egal cu suma dintre  AC = b și CE = x

Prin urmare, segmentul EG îl exprimăm ca diferență de segmente AE-AG și calculăm înlocuind expresiile pentru fiecare segment:

Rezultă că EG și CF sunt segmente egale (au aceeași măsură). Acum putem să calculăm valoarea segmentului GC ca diferență dintre AG și AC:

În final calculăm valoarea măsurii segmentului FG ca sumă a măsurilor segmentelor FC și CG:

 

Deoarece am obținut aceeași măsură pentru cele două segmente FG=x și CE =x rezultă că cele două segmente sunt congruente.

 

G2. Linii importante în triunghi

G2.

Fie triunghiul ABC cu măsura unghiului A mai mică de 90⁰ . Pe latura (AC) se ia un punct D astfel încât 

(BA) ≡ (BD) şi pe latura (AB) se ia un punct E astfel încât (CA) ≡ (CE). Notăm cu M mijlocul lui (AE) şi cu N mijlocul lui (AD) şi fie {P}= CM ∩ BN. Arătaţi că

 

Rezolvare: 

Din datele problemei (ipoteza)  avem (BA) ≡ (BD) rezultă că triunghiul ABD este isoscel (are două laturi congruente şi prin urmare are şi unghiurile alăturate bazei tot congruente). 

În acest triunghi isoscel se construieşte punctul N la jumătatea lui AD. De aici rezultă că (AN) ≡ (ND) . 

În triunghiul isoscel ABD avem segmentul BN care uneşte vârful B al triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse vârfului B. Rezultă că BN este mediana dusă din vârful triunghiul ABD. Cunoaştem de la proprietăţile liniilor importante ale triunghiului isoscel că mediana dusă din vârful triunghiului isoscel (vârful din care pleacă laturile congruente) este, totodată, înălţime, mediatoare şi bisectoare deoarece triunghiurile ABN şi BND sunt congruente (cazul de congruență LUL, deoarece AB este congruent cu BD, din ipoteză, unghiurile BAN și BDN sunt congruente în triunghiul isoscel ABD și AN este congruent cu ND, din ipoteză).   Din congruența triunghiurilor ABN și BND rezultă că unghiurile BNA și BND sunt congruente. Deoarece suma acestor unghiuri BNA și BND este un unghi alungit, cu măsura de 180 de grade, rezultă că unghiul BNA = unghiul BND = 90 grade. În concluzie BN este perpendiculară pe AD şi este înălţimea dusă din vârful B pe latura opusă în triunghiul ABD. De asemenea BN este înălțime și în triunghiul ABC. fiind perpendiculara din vârful triunghiului dusă pe latura opusă AC, deoarece punctele A, D și C sunt coliniare).

     

În triunghiul ACE, avem  (CA) ≡ (CE), din datele problemei, rezultă că triunghiul ACE este isoscel. Deoarece triunghiul ACE este isoscel, unghiurile formate de bază cu laturile congruente sunt, la rândul lor, congruente: unghiul CAM = unghiul CEM . Punctul M este la mijlocul bazei triunghiului ACE, deci CM este mediană. Mediana dusă din vârful triunghiului isoscel  (vârful din care pleacă laturile congruente) are proprietatea de a fi mediatoare, înălţime şi bisectoare, deoarece triunghiul CME este congruent cu triunghiul CMA (cazul de congruență a triunghiurilor LUL : CA și CE sunt conguente, conform ipotezei,  unghiurile CEM și CAM sunt congruente in triunghiul isoscel CAE și AM = ME, conform ipotezei)
Rezultă că si celelalte elemente ale triunghiurilor CME și CAM sunt la rândul lor congruente două câte două, cum sunt  unghiul CMA și unghiul CME. Suma acestor două unghiuri este de 180 grade, deci fiecare dintre ele va avea măsura de 90 grade. Rezultă că CM este perpendiculară pe AE, sau în triunghiul ACE, CM este înălținea dusă din vârful C pe latura opusă AE. Dar CM este înălțime și în triunghiul ABC fiind prependiculara dusă din vârful C pe latura opusă AC (punctele A, C și E sunt coliniare).

   

În triunghiul ABC, observăm acum că

sau     (deoarece A, D şi C sunt coliniare)...BN este o înălţime în triunghi

sau (deoarece A, B şi E sunt coliniare)... CM este cea de-a doua înălţime a triunghiului

{P}= CM ∩ BN 

Punctul de intersecţie al înălţimilor unui triunghi este un punct unic. Acest punct se numeşte ortocentru.

{P}aparţine segmentului AR, rezultă că AP este tot înălţime .

 

G1. Linii importante în triunghi

1. În triunghiul ABC cu măsura unghiului A de 90^o , bisectoarea unghiului ABC intersectează pe AC în D, iar DE este înălţimea triunghiului BDC. Demonstraţi că:

a)      AE BD

b)      AE ║FC unde F este egal cu AB ∩ DE.

Rezolvare:

Începem prin a analiza datele problemei: ipoteza

Aceste date sunt:

(1) un triunghi ABC cu măsura unghiului A de 90^o , 

(2) BD este bisectoarea unghiului ABC

(3) DE este înălţimea triunghiului BDC.

Ne gândim bine aceste informaţii şi observăm că:

Din ipoteza nr. (1) rezultă că triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în vârful A. Începem să construim figura desenând acest triunghi dreptunghic ABC şi marcăm pe figură cu  un colţ „ ┐” la vârful A unde avem unghiul drept (de 90^o).

Din ipoteza nr. (2) rezultă că BD împarte unghiul ABC în două părţi de măsuri egale (congruente). Această concluzie o vom scrie:

       măsura unghiului ABD = măsura unghiului DBC

                             m ABD = m DBC

Marcăm pe figură prin arce de cerc desenate în vârful B pentru aceste două unghiuri.

Din ipoteza (3) rezultă că în triunghiul BDC, DE este perpendiculară pe  BC. Această concluzie o notăm 

DE BC . Acestă perpendicularitate o desenăm pe figură printr-un colţ „ ┐” la unul din ughiurile formate în punctul E.

 Acum avem totul desenat…toate informaţiile din problemă.

Privim figura cu atenţie ….şi observăm că triunghiurile ABD şi EBD …au ceva în comun!!! Au comun faptul că sunt dreptunghice….apoi ..au comună latura BD…şi mai mult …au două unghiuri cu măsuri egale, deci sunt congruente:

ABD ≡ EBD.

     

Aceste trei observaţii ne conduc la cazul de congruenţă Ipotenuză – Unghi (IU) pentru triunghiurile dreptunghice.

Vom scrie astfel:

      DAB ≡ DEB = 90^o (din ipoteză)

BD latură comună

ABD ≡ EBD.

                          Rezultă   Δ ABD ≡ Δ DEB (triunghiuri congruente)

Dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci şi celelalte elemente ale lor vor fi congruente (deoarece un triunghi are 3 unghiuri si 3 laturi …el are 6 elemente, în congruenţă am folosi 3 elemente : 2 unghiuri şi o latură). Aceste elemente sunt cel de-al treilea unghi si celelalte două laturi….scriem şi aceste congruenţe, deoarece este posibil să ne fie de folos în continuarea problemei).

Acestea sunt:

                AD  ≡  DE          (4)

                BA ≡   BE           (5)

      ADB  ≡     EDB   (6)

Dacă ne uităm atent ..observăm că în relaţia (5) avem o congruenţă care ..ne duce la triunghiul  ABE….acest triunghi are două laturi congruente (AB şi BE) . ..deci este un triunghi isoscel!

BA ≡   BE     rezultă Δ ABE isoscel   deci din proprietăţile triunghiului isoscel…că sunt congruente şi  unghiurile alăturate de laturile congruente!

Scriem astfel: MAB ≡ MEB   (7)

În acest triunghi isoscel BM este bisectoarea unghiului de la vârful triunghiului isoscel. De la proprietăţile liniilor importante din triunghiul isoscel noi ştim că „bisectoarea dusă din vârful triunghiului isoscel este în acelaşi timp mediatoare, mediană şi înălţime”. Acest lucru se vede foarte uşor din faptul că 
Δ ABD ≡ Δ MEB (deoarece  ABD ≡ EBD din ipoteză, relaţia (5) şi relaţia (7) ..deci cazul de congruenţă ULU).

Din Δ ABD ≡ Δ MEB rezultă că şi celelalte elemente ale triunghiurilor sunt congruente : AM  ≡ ME  rezultă că BM este şi mediană

AMB ≡ EMB  dar aceste două unghiuri sunt suplementare (suma lor este de 180^o), rezultă că măsura fiecăruia este de 90^o.  Rezultă că BM este şi înălţime, deci şi mediatoare.

Deoarece  BM este înălţime,  vom scrie BM AE , deoarece B, M, D sunt puncte coliniare, în loc de BM vom putea scrie BD AE . Ceea ce trebuia demonstrat la punctul a.

Pentru punctul b al problemei, continuăm raţionamentul şi observăm în figură că în

Δ BFC avem CA FB , FE BC,  CA ∩ FE = {D} (mulţimea formată din punctul D).

Ceea ce înseamnă că CA şi FE sunt înălţimi şi punctul D este la intersecţia acestor înălţimi. Dar noi ştim că înălţimile într-un triunghi se intersectează într-un punct unic, numit ortocentru. Deci dacă două înălţimi trec prin punctul D atunci obligatoriu şi cea de-a treia linie care trece prin acest punct şi uneşte un vârf al triunghiului cu latura opusă va fi tot înălţime! Deci, BN CF. (8)

BN este pe aceeaşi dreaptă cu BD şi am demonstrat la punctul (a) că BD AE deci putem scrie 

BN AE (9).

Din aceste două relaţii (8) şi (9) rezultă că AE ║FC (avem unghiuri alterne interne cu măsuri de 90^o) . Ceea ce trebuia demonstrat la punctul b.