Ecuatie cu radicali (clasa a 7-a)

a)      Fie E(x) = x + 3. Determinaţi valorile reale ale lui x pentru care:  

b)      Determinaţi valorile întregi ale lui a (a<0) pentru care este adevărată relaţia

Rezolvare :

Pentru a afla valorile lui x putem să rezolvăm pe două căi, astfel :

1.       Observăm că avem o ecuaţie în care necunoscuta este expresia E(x). Noi putem să rezolvăm această ecuaţie considerând ca necunoscută E(x) şi să aflăm valoarea acestei necunoscute, apoi cu ajutorul informaţiei din datele problemei, prin care E(x) este egal cu x+3, vom forma o nouă ecuaţie în care vom avea ca necunoscută x. În continuare vom calcula valoarea lui x.

2.       O altă cale este de a înlocui E(x) în ecuaţia dată cu x+3 şi să rezolvăm de la început ecuaţia în necunoscuta x.

Varianta 1. Amplificăm membrul stâng al ecuaţiei pentru a avea acelaşi numitor şi totodată eliminăm numitorul ecuaţiei :

 

Deoarece 64 se obţine din ridicarea la puterea a doua fie a lui +8 fie a lui -8 pentru expresia E(x) putem avea două soluţii . Înlocuim pe rând expresia E(x) cu x+3 în cele două soluţii şi vom obţine valorile reale ale lui x pentru care egalitatea din problemă este adevărată. Astfel:

X+3 = +8  =>  x = 8-3 = 5 

X+3 = -8 =>  x= -8-3 = -11. Acestea sunt soluţiile. Vom scrie soluţia generală a ecuaţiei:

Varianta a 2-a : Înlocuim E(x) cu x+3 şi obţinem :

Amplificăm tot membrul stâng cu numitorul din dreapta, eliminăm numitorul şi scriem:

Efectuăm înmulţirea celor două paranteze înmulţind termen cu termen şi obţinem:

Observăm că 55 este produsul dintre 11 şi 5 şi, totodată că 6x se poate scrie ca diferenţa +11x-5x.

Grupăm termenii doi câte doi şi dăm factor comun la primii doi pe x şi la ceilalţi doi pe -5. Obţinem:

Acum putem să dăm factor comun paranteza x+11 şi obţinem:

Am obţinut un produs care este egal cu zero. Ştim că întotdeauna un produs este egal cu zero atunci când cel puţin unul din factorii produsului este egal cu zero. Rezultă:

Cazul 1.   x+11=0  =>  x=-11  

Cazul 2> x-5 = 0  =>  x=5

Vom scrie soluţia generală a ecuaţiei:

b) Pentru punctual b al exerciţiului avem de aflat valorile întregi ale lui a (a<0) pentru care este adevărată relaţia

Deoarece E(x) = x +3    dacă x = a    avem E(a) = a + 3   şi dacă 

avem

Înlocuim în inegalitate cele două valori ale expresiei E(x) şi obţinem:

 

Am obţinut un produs de doi factori ( parantezele) care este mai mare ca zero. Observăm că primul factor (prima paranteză) are valoare pozitivă (deoarece radical din 3 este 1,73…) şi, în concluzie cel de-al doileea factor (a doua paranteză) trebuie să aibă tot valori pozitive pentru ca rezultatul înmulţirii să fie pozitiv.

a+3>0  =>  a>-3 

Deoarece exercţiul pune condiţiile pentru a de a fi număr întreg şi negativ rezultă :

Aceste două valori ale lui a reprezintă soluţia exerciţiului.