Problemă cu dreptunghi și paralelogram

În dreptunghiul ABCD din figura alăturată,

BM = 2 cm și AC = 6 cm.

a) Calculați aria dreptunghiului ABCD;
b) Demonstrați că BMDN este un paralelogram;
c) Demonstrați că paralelogramul BMDN nu poate fi romb.

Rezolvare:

a) Problema ne dă măsura diagonalei AC de 6 cm și măsura perpendicularei din vârful B pe diagonală. Această perpendiculară BM reprezintă înălțimea triunghiului dreptunghic ABC.  Rezultă că putem calcula aria triunghiului ABC.
În dreptunghiul ABCD laturile opuse sunt congruente și paralele. Diagonala AC formează unghiurile alterne interne DAC și ACB. Observăm că triunghiurile BMC și DNA sunt congruente:

din această congruență rezultă

A

Deci: BM = DN = 2 cm

Acum putem calcual ariile celor două triunghiuri care formează dreptunghiul ABCD:  ABC și ACD:

A ABCD  = 12 cm2

b)  Pentru a demonstra că patrulaterul BMDN este un paralelogram  observăm următoarele:
- ABCD fiind un dreptunghi, diagonalele acestuia sunt egale și se intersectează în părți egale:
OA = OC = OB = OD   (3)
 Din această relație  folosim  OA = OC   (3)
împreună cu relația (2)         AN = MC    (2)   Dacă scădem cele două relații  egalitatea se păstrează:
                               OA - AN = OC - MC   =>     ON = OM   (4)
Acestă relație (4) împreună cu două dintre segmentele din relația (3)   DO = OB  ne arată că în paralelogramul BMDN diagonalele se intersectează în părți egale ceea ce este suficient pentru a trage concluzia că BMDN este un paralelogram.  (Se poate demonstra prin congruența triunghiurilor BOM cu DON și BON cu DOM care au pe lângă laturi și unghiurile opuse la vârf congruente ).

c) pentru a demonstra că paralelogramul BMDN nu poate fi romb facem presupunerea că acest paralelogram ar fi un romb. Dacă BMDN ar fi romb atunci diagonalele lui ar fi perpendiculare: BD perpendiculară pe MN. Dar MN este o porțiune din diagonala AC a dreptunghiului ABCD. Rezultă că BD ar fi perpendiculară pe AC. Cu alte cuvinte dreptunghiul ABCD din problemă ar avea diagonalele perpendiculare. În această situație el ar fi în cazul particular în care ar fi un pătrat. Dacă ABCD ar fi un pătrat atunci laturile lui ar fi toate agale AB = BC = CD = DA. Dar în ipoteză problema spune că AB este diferit ca mărime de BC. Rezultă că presupunerea noastră contrazice ipoteza problemei deci este falsă și  nu poate fi romb.