Problemă cu arii (triunghi și pătrat)

Geometrie clasa a VII-a

Fie ABCD un pătrat în care

 unde M este mijlocul lui AB, iar

Dacă    A_ABCD  = 432 cm², aflaţi aria triunghiului MNO.

Rezolvare:

Construim figura:

Din datele problemei (din ipoteză) avem ABCD un pătrat. Proprietăţile pătratului sunt: toate laturile congruente între ele, toate unghiurile congruente între ele şi egale cu 90 grade, diagonalele congruente şi perpendiculare, diagonalele se intersectează în părţi egale:

În triunghiul dreptunghic isoscel ABD avem AO mediană (uneşte vârful triunghiului A cu mijlocul laturii opuse BD). Din datele problemei avem punctul M ca mijloc al laturii AB şi segmentul DM care uneşte punctele D şi M este tot o mediană în triunghiul ABD. Aceste două mediane DM şi AO se intersectează în punctul N.

Cunoaştem că medianele unui triunghi au proprietatea de a se intersecta într-un punct unic, care împarte fiecare mediană în raport de 1/3 faţă de bază şi 2/3 faţă de vârful triunghiului; rapoartele se  calculează din lungimea medianei respective. Reamintesc, punctul de intersecție a medianelor unui triunghi se numește centru de greutate.

Astfel putem scrie:

Pentru a calcula aria triunghiului MNO avem nevoie de înălţimea triunghiului. Pentru aceasta coborâm o perpendiculară din punctul M pe AO şi notăm punctul cu M’. MM’ este înălţimea triunghiului MNO. MM’ fiind perpendiculară pe AO şi BO, de asemenea perpendiculară pe AO, rezultă că MM’ este paralelă cu OB. Deoarece M este mijlocul lei AB rezultă că MM’este linie mijlocie în triunghiul AOB şi are măsura egală de jumătate din OB:  

MM’  =  OB / 2;

Aria triunghiului MNO o vom scrie după formula: jumătate din produsul dintre înălțime și baza (latura triunghiului) pe care coboară acea înălțime.

În calculul prezentat mai sus am ținut cont de exprimarea ariei triunghiului AOB dreptunghic în vârful O ca produsul catetelor împărțit la 2. De asemenea, acest triunghi AOB este congruent, din toate proprietățile pătratului, cu celelalte triunghiuri: BOC, COD și DOA. Aceste triunghiuri vor avea și aceeași arie, iar suma ariilor lor duce la aria pătratului.

A_AOB  = A_BOC  = A _COD = A_DOA

A_AOB  + A_BOC  + A _COD + A_DOA  = A_ABCD  rezultă că 4 A_AOB  = A_ABCD din care reiese  A_AOB  = A_ABCD  / 4.

Soluția problemei:    A_MNO = 18 cm²