Inegalitate cu sumă de radicali

Problemă algebra / concurs Lumina Math 2014 / clasa a 8-a

Dacă

 atunci a₁ + a₂ + a₃ + … + a₂₀₁₄  este:
A)   2029105              B) 2092015         C) 2029015           D) 2014          E) 2015

Rezolvare:

Pentru rezolvarea acestui exercițiu în care avem radicali, vă propun să ne uităm la acest exercițiu și să facem unele observații.

Ce observăm?

Mai întâi observăm că avem o inegalitate, la care în partea stângă avem o sumă de termeni. Această sumă de termeni este mai mică sau egală cu zero (înseamnă că este un număr negativ!)

Din ce este formată suma termenilor din stânga? Dintr-un număr de 2014 radicali care se extrag din pătrate perfecte…(sub fiecare radical avem…câte un binom la pătrat). Cunoaștem că, atunci când ridicăm la pătrat cantități pozitive sau negative, acestea devin cantități pozitive. Prin urmare..radicalul dintr-un pătrat perfect se poate exprima prin :

(Am evidențiat separat  cazul în care modulul ia valoarea egală cu zero).

Observăm că suma termenilor din partea stângă este o sumă de module, o sumă de cantități pozitive, care nu poate da alt rezultat decât o cantitate pozitivă! Rezultă că, această sumă nu poate fi mai mică decât zero. Cu alte cuvinte această sumă nu poate fi decât egală cu zero. Pe de altă parte …o sumă de termeni pozitivi este egală cu zero doar dacă fiecare termen al sumei este egal cu zero.

Vom nota astfel:

in (1) și (2) rezultă că

a₁ = 1; a₂ = 2; a₃ = 3 ……a₂₀₁₄ = 2014  =>

Folosim formula de calcul pentru suma primelor n numere naturale:

Soluția exercițiului : varianta A ) 2029105