Problemă cu patrulater inscriptibil / clasa a 8-a

Geometrie clasa a VIII- a (Gazeta matematică Seria B, nr. 12/2013) 

Fie triunghiul ABC  și punctele  

 Dacă triunghiul ADF este ascuțitunghic,  [EB] ≡ [ED] și [EF]≡ [EC], arătați că centrul cercului circumcsris Δ ADF aparține bisectoarei ≮ DEF.

Rezolvare:

În triunghiul EBD avem [EB] ≡ [ED] din ipoteză, rezultă că triunghiul BED este isoscel și unghiurile DBE și DEB sunt congruente: ≮ EDB  ≡≮ EBD =  ≮ B. Rezultă că  unghiul BED (din suma unghiurilor triunghiului BED, care este de 180 grade) este: ≮ BED= 180^o -  2 ( m≮ B).

În triunghiul EFC avem [EF] ≡ [EC] din ipoteză , rezultă că triunghiul EFC  este isoscel și unghiurile EFC și ECF sunt congruente: ≮ EFC  ≡≮ ECF  ≡ ≮ C. Rezultă că unghiul CEF este:   ≮ CEF= 180^o -  2 ( m≮ C).

Putem calcula măsura unghiului DEF ținând cont că unghiul BEC este un unghi cu laturile alungite și are 180^o .

≮ DEF=  180^o  - (180^o -  2 ( ≮ B) ) – ( 180^o -  2 (m ≮ C) ) =

= 180^o  - 180^o +  2 ( ≮ B) ) –  180^o +  2 ( m≮ C) ) =

=  2 (m≮ B + m≮ C – 90^o) =

= 2 ( 180^o - m≮ A – 90^o) = 180^o – 2 m≮ A.                 (1)

În triunghiul ADF construim centrul cercului circumscris la intersecția mediatoarelor laturilor triunghiului, care sunt segmentele [AF], [FD], [DA]. În figură observăm mediatoarele acestor segmente, respectiv dreptele ON, OP și OM care se intersectează în punctul O.

Deoarece punctul O este centrul cercului circumscris, care trece prin vârfurile triunghiului, avem

[OA] = [OF] = [OD] = raza cercului circumscris R. Rezultă că triunghiurile AOF, DOF și DOA sunt isoscele și unghiurile opuse laturilor congruente sunt congruente.

În triunghiul DOA: ≮OAD ≡≮ODA = ≮1;

În triunghiul DOF: ≮ODF ≡≮OFD = ≮2;

În triunghiul AOF: ≮OAF ≡≮OFA = ≮3; Rezultă că suma unghiurilor triunghiului ADF se poate scrie:

m≮DAF + m≮AFD + m≮FDA = m≮1 + m≮3  + m≮3 + m≮2 + m≮2 + m≮1 =

= 2 m ≮1 + 2 m≮2 + 2m≮3 = 180^o  =>  m ≮1 + m≮2 + m≮3 = 90^o

Deoarece unghiul A este format din unghiurile 1 și 3 rezultă că

m ≮1 + m≮2 + m≮3 = 90^o  =>  m≮2 = 90^o  - m ≮1 -  m≮3 = 90^o - m≮A     (2)

 În triunghiul DOF putem să exprimăm măsura unghiului DOF astfel:

m≮DOF = 180^o – 2 m≮2. Ținând cont de relația (2), înlocuim expresia unghiului 2 și avem:  m≮DOF = 180^o – 2 (90^o - m≮A) = 180^o -180^o + 2 m≮A = 2 m≮A.                 (3)

Acum, dacă de uităm în patrulaterul DOFE, în care știm că suma unghiurilor este de 360^o  observăm că suma unghiurilor opuse din patrulater este (ținem cont de relațiile 1 și 3):

m≮DOF + m≮DEF = 2 m≮A + 180^o – 2 m≮ A = 180^o.

Rezultă că patrulaterul DOF este inscriptibil (unghiurile opuse sunt suplementare).

Cunoaștem că patrulaterele inscriptibile au o proprietate specială:

Unghiurile făcute de diagonale cu laturi opuse ale patrulaterului sunt congruente. Astfel:

≮OFD ≡≮OED; ≮ODF ≡≮OEF ;                              (4)

Pentru a fi mai ușor de observat, pe figură avem  următoarele notații:

 ≮OFD = ≮2, ≮OED este notat cu ≮x₁  ,

≮ODF =≮2, ≮OEF este notat  ≮x₂ .

Relațiile 4 de mai sus devin astfel:

≮2 = ≮x₁  și ≮2 = ≮x₂  ceea ce ne conduce spre concluzia că

≮x₁ = ≮x₂ .

Revenim la notațiile inițiale, rezultă:  ≮DEO = ≮FEO  ceea ce înseamnă că OE este bisectoarea unghiului DEF.