Olimpiada de matematica 2015 etapa de sector, clasa a VII-a, Subiectul 3 / geometrie

Olimpiada de matematica 2015 etapa de sector,
clasa a VII-a, Subiectul 3 / geometrie,

 

Fie A. B, C trei puncte necoliniare. Dacă D este mijlocul lui [BC], M este mijlocul lui [AD], E este simetricul lui B față de M și N aparține segmentului [BM] astfel încât:

m(∢ ANC) = m (∢ DNM) = 90⁰.
Arătați că patrulaterul AECD este dreptunghi.

 Rezolvare:

Pentru a arăta că patrulaterul AECD este un dreptunghi, avem nevoie să arătăm că are laturile lui sunt congruente și paralele două câte două (cu alte cuvinte, să arătăm că este un paralelogram) și că fie un unghi este de 90⁰   , fie că  diagonalele paralelogramului sunt congruente.

Să vedem cum facem demonstrația. Ne uităm la datele problemei.

Avem trei puncte necoliniare A, B și C.

D este mijlocul segmentului [BC], rezultă că [BD] ≡ [DC],                (1)
M este mijlocul lui [AD], rezultă că [AM]  ≡ [MD],                              (2)
E este simetricul lui B față de M,  rezultă că B, M și sunt trei puncte coliniare și  
[BM]  ≡ [ME],                (3)

Din relațiile (2) și (3) :  rezultă că  AD intersectează BE în punctul M și 

 [AM]  ≡ [MD]  ,  [BM]  ≡ [ME]     

Rezultă că ABDE este un paralelogram (dacă diagonalele unui patrulater se intersectează astfel încât diagonalele să fie împărțite în părți egale (se înjumătățesc) atunci patrulaterul este un paralelogram)

Deoarece ABDE este un paralelogram, rezultă că laturile lui sunt paralele și congruente, două câte două:

[AE] = [BD]  , [AB] = [DE] ,  [AE] ‖ [BD] ,  [AB] ‖ [DE]             (4)

Deoarece B, C și D sunt trei puncte coliniare (D fiind mijlocul segmentului BC) rezultă că 

 [AE] ‖ [BC] sau  [AE] ‖ [DC]                    (5)

Deoarece   [BD] ≡ [DC], relația (1) și [AE] = [BD] din relația (4)  rezultă  [AE] = [DC]          (6)

Din (5) și (6) [AE] ‖ [DC]  și [AE] = [DC] , rezultă că AECD este parallelogram (folosim teorema: Dacă într-un patrulater două laturi opuse sunt paralele și congruente atunci patrulaterul este un paralelogram). Am aflat despre patrulaterul AECD că este un paralelogram.   

Deoarece AECD este paralelogram, are proprietatea că diagonalele se taie în părți egale. Rezultă că:

AC Ո DE ={O} , [AO] ≡ [OC] și [EO] ≡ [OD], deci măsurile segmentelor sunt egale:

AO = OC și EO = OD

În triunghiul dreptunghic ANC avem unghiul ANC de 90 grade  (din ipoteză) și ON mediană deoarece O este mijlocul lui AC, rezultă că ON = AC / 2 = AO = OC;    (7)

În triunghiul dreptunghic DNE avem unghiul DNE de 90 grade (din ipoteză) și ON mediană deoarece O este mijlocul lui DE, rezultă că ON = DE / 2 = DO = EO      (8)

Din relațiile 7 și 8 rezultă că:

ON = AO = OC = DO = EO ceea ce înseamnă că diagonalele AC și DE sunt egale

AC = DE = 2 NO       (9)

AECD este un paralelogram care are diagonalele egale, deci este un dreptunghi.