(După subiectul al III-lea este prezentată rezolvarea întregului test).
SUBIECTUL I - Pe foaia de lucru se vor scrie numai rezultatele. (30 de puncte)
(5p) 1. Rezultatul calculului 16 -8: 2 este egal cu … .(5p) 2. Un muncitor, lucrând câte 8 ore pe zi, poate săpa un şanţ în 15 zile. Trei muncitori, lucrând câte 8 ore pe zi, sapă acelaşi şanţ în ....... zile.
(5p) 3. Dacă A = {-1,0,1,2} şi B = {2,3,4}, atunci
(5p) 4. Un trapez are bazele de 10 cm şi respectiv de 16 cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului este
egală cu ... cm.
(5p) 5. În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat ABCD cu muchia de 8 cm. Aria totală a
tetraedrului este egală cu ... cm pătrați.
(5p) 6. În graficul de mai jos este reprezentat numărul elevilor unei școli, înscrişi la cursuri semestriale de limbi străine. Cel mai mic număr de elevi înscrişi la cursurile semestriale de limbi străine s-a înregistrat în semestrul … .
SUBIECTUL al II-lea - Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. (30 de puncte)
(5p) 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD .
(5p) 2. Calculaţi media aritmetică a numerelor
şi b 24 .
(5p) b) Calculaţi aria triunghiului determinat de reprezentarea grafică a funcţiei f , axa Ox şi axa Oy .
(5p) 5. Se consideră expresia
unde x este număr real, x 1 și x 0 . Arătaţi că E(x) 1 pentru orice număr real x , x 1 și x 0 .
(5p) a) Calculaţi lungimea gardului.
(5p) b) Arătați că aria întregului teren este egală cu
(5p) c) Pe teren se vor planta trandafiri. Ştiind că fiecărui trandafir îi este necesară o suprafaţă de 25 dm pătrați, verificaţi dacă pe acest teren pot fi plantaţi 1028 de trandafiri. Se consideră cunoscut faptul că
(5p) 6. În graficul de mai jos este reprezentat numărul elevilor unei școli, înscrişi la cursuri semestriale de limbi străine. Observăm că în semestrul I 30 de elevi s-au înscris la limba italiană, 40 de elevi la limba germană și 80 de elevi la limba engleză. În total s-au înscris 30+40+80 = 150 de elevi. În semestrul al II-lea s-au înscris 20 de elevi la limba italiană, 50 de elevi la limba germană și 70 de elevi la limba engleză. În semestrul al II-lea s-au înscris în total un număr de 20+50+70 = 140 de elevi.
Rezultat : în semestrul al II-lea s-a înregistrat cel mai mic număr de elevi înscrişi la cursurile semestriale de limbi străine.
REZOLVARE SUBIECTUL al II-lea - Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. (30 de puncte)
REZOLVARE SUBIECTUL al III-lea
(5p) 3. O firmă are 120 de angajaţi. Determinați numărul bărbaţilor angajaţi în firmă, știind că numărul femeilor reprezintă 20% din numărul bărbaţilor.
4. Se consideră funcţia f : R R , f (x) 2x 3.
(5p) a) Determinaţi numărul real a ştiind că f a 7 .(5p) b) Calculaţi aria triunghiului determinat de reprezentarea grafică a funcţiei f , axa Ox şi axa Oy .
(5p) 5. Se consideră expresia
unde x este număr real, x 1 și x 0 . Arătaţi că E(x) 1 pentru orice număr real x , x 1 și x 0 .
SUBIECTUL al III-lea - Pe foaia de lucru scrieţi rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Figura 2 reprezintă schiţa unui teren format dintr-un pătrat și patru semicercuri. Lungimea laturii
pătratului este egală cu 10 m. Terenul este înconjurat de un gard.(5p) a) Calculaţi lungimea gardului.
(5p) b) Arătați că aria întregului teren este egală cu
2. În Figura 3 este reprezentată schematic o cutie din carton, în formă de paralelipiped dreptunghic,
cu dimensiunile bazei de 60 cm şi de 40 cm, iar înălţimea de 50 cm (se neglijează grosimea
cartonului).
(5p) a) Calculaţi câți metri pătraţi de carton sunt necesari pentru a confecţiona cutia.
(5p) b) Verificaţi dacă în cutie încap 125 de cuburi egale, fiecare având muchia de 10 cm.
(5p) c) Pe fețele laterale ale cutiei ABCDA'B'C'D' , între punctul A şi punctul C' , se aplică o bandă
adezivă de lungime minimă. Calculaţi lungimea benzii aplicate.
cu dimensiunile bazei de 60 cm şi de 40 cm, iar înălţimea de 50 cm (se neglijează grosimea
cartonului).
(5p) b) Verificaţi dacă în cutie încap 125 de cuburi egale, fiecare având muchia de 10 cm.
(5p) c) Pe fețele laterale ale cutiei ABCDA'B'C'D' , între punctul A şi punctul C' , se aplică o bandă
adezivă de lungime minimă. Calculaţi lungimea benzii aplicate.
REZOLVARE Subiectul I:
(5p) 1. 16 -8: 2 = 16 - 4 = 12. Soluție: 12
(5p) 2.
Deoarece trei muncitori vor lucra în 8 ore de trei ori mai mult decât un singur muncitor, rezultă că întregul șanț va fi săpat într-un timp de trei ori mai scurt 15 : 3 = 5 zile.
(5p) 3. Dacă A = {-1,0,1,2} şi B = {2,3,4}, atunci
Intersecția a două mulțimi este mulțimea care cuprinde elementele comune celor două mulțimi luate o singură dată. Sungurul element comun este 2, rezultă că:
(5p) 4. Baza mică este de 10 cm şi baza mare este de 16 cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului este
egală cu semisuma bazelor (B+b)/2 = (16+10)/2 = 26 : 2 = 13 cm.
(5p) 5. În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat ABCD cu muchia de 8 cm. Aria totală a tetraedrului este egală cu ... cm pătrați.
Tetraedrul regulat este o piramidă care are toate fețele triunghiuri echilaterale. Laturile acestor triunghiuri sunt muchiile tetraedrului (egale fiecare cu câte 8 cm). Aplicăm formula ariei triunghiului echilateral, apoi calculăm aria totală tetraedrului luând de 4 ori aria unui triunghi.
(5p) 6. În graficul de mai jos este reprezentat numărul elevilor unei școli, înscrişi la cursuri semestriale de limbi străine. Observăm că în semestrul I 30 de elevi s-au înscris la limba italiană, 40 de elevi la limba germană și 80 de elevi la limba engleză. În total s-au înscris 30+40+80 = 150 de elevi. În semestrul al II-lea s-au înscris 20 de elevi la limba italiană, 50 de elevi la limba germană și 70 de elevi la limba engleză. În semestrul al II-lea s-au înscris în total un număr de 20+50+70 = 140 de elevi.
Rezultat : în semestrul al II-lea s-a înregistrat cel mai mic număr de elevi înscrişi la cursurile semestriale de limbi străine.
REZOLVARE SUBIECTUL al II-lea - Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. (30 de puncte)
(5p) 1. Se desenează o prismă dreaptă ABCDA'B'C'D' (paralelipiped dreptunghic) pentru care evidențiem că baza ABCD este un pătrat marcând unghiurile drepte și aceeași mărime pentru laturi (de exemplu a.)
(5p) 2. Calculăm și aducem la o formă mai simplă primul număr:
(5p) 3. Cunoaștem că o firmă are 120 de angajaţi. Se cere să determinăm numărul bărbaţilor angajaţi în firmă, știind că numărul femeilor reprezintă 20% din numărul bărbaţilor.
Notăm cu x numărul bărbaților din firmă. Numărul femeilor din firmă reprezintă 20% din numărul bărbaţilor, ceea ce înseamnă: (20/100) x.
Deoarece numărul total al angajaților este 120. Vom scrie ecuația adunând numărul x al bărbaților și numărul de femei (20/100) x. Rezultă:
Dacă f(a) = 7, înțelegem că în expresia funcției date atunci când x este egal cu a valoarea funcției este 7. Valoarea funcției pentru x = a se obține prin înlocuirea lui x cu a în expresia funcției. Astfel:
f(a) = 2a + 3
Din datele problemei, acest f(a) este egal cu 7. Scriem ecuația: f(a) = 7, ceea ce înseamnă: 2a+3 = 7.
Aceasta este o ecuație în care necunoscuta este a. Rezolvăm și obținem: 2a = 7-3=4 deci a=2.
Soluție: a =2
(5 puncte) b) Se cere să calculăm aria triunghiului determinat de reprezentarea grafică a funcţiei f , axa Ox şi axa Oy.
Pentru a reprezenta grafic funcția de gradul I, despre care știm că are graficul o linie dreaptă, avem nevoie să cunoaștem două puncte ale acestei drepte. Cunoaștem de la geometrie că o dreaptă este determinate de două puncte distincte (dacă cunoaștem două puncte distincte ale unei drepte vom putea desena acea dreaptă). Graficul funcției de gradul I (dreapta) intersectează axa Ox într-un punct M de coordonate xM și yM notat M(xM , yM) și axa Oy într-un punct N de coordonate xN și yN notat N(xN , yN).
Punctul
M, deoarece aparține axei Ox, are coordonata yM = 0 și punctul N, deoarece
aparține axei Oy, are coordonata xN =0.
Deci avem M(xM , 0) și N(0, yN). Să aflăm coordonatele acestor două puncte.
Deoarece punctele M și N aparțin și graficului funcției, coordonatele lor verifică expresia funcției f (x) = 2x +3. Astfel când înlocuim valoarea lui x cu coordonata xM trebuie să obținem valoarea funcției egală cu yM. La fel și pentru punctul N, când înlocuim valoarea lui x cu coordonata xN trebuie să obținem valoarea funcției egală cu yN.
Obținem următoarele: 0 = 2xM + 3 și yN = 2∙0 + 3 rezultă că xM = -3/2 și yN = 3
Deci punctele sunt M(-3/2 , 0) și N (0, 3).
În sistemul de axe ortogonale xOy mărimea segmentului OM este egală cu 3/2 și ON = 3.
Notă: Calculul distanței dintre două puncte A(xa, ya) și B(xb, yb) se calculează cu formula:
(5p) 5. În expresia data, în care x este număr real, x 1 și x 0, efectuăm calculele și împărțirea la o fracție o transformăm în înmulțire cu fracția răsturnată. Expresia E(x) devin pentru orice număr real x , x 1 și x 0
a = 16 și b = 24 . Media aritmetică a acestor două numere
este:
Ma = (16 + 24) : 2 = 40:2 = 20(5p) 3. Cunoaștem că o firmă are 120 de angajaţi. Se cere să determinăm numărul bărbaţilor angajaţi în firmă, știind că numărul femeilor reprezintă 20% din numărul bărbaţilor.
Notăm cu x numărul bărbaților din firmă. Numărul femeilor din firmă reprezintă 20% din numărul bărbaţilor, ceea ce înseamnă: (20/100) x.
Deoarece numărul total al angajaților este 120. Vom scrie ecuația adunând numărul x al bărbaților și numărul de femei (20/100) x. Rezultă:
Soluție: x = 100 angajați bărbați
4. Se cunoaște funcţia f : R R , f (x) 2x 3. Se cer următoarele:
(5 puncte) a) Se cere să determinăm valoarea numărului real a ştiind că f a 7 .Dacă f(a) = 7, înțelegem că în expresia funcției date atunci când x este egal cu a valoarea funcției este 7. Valoarea funcției pentru x = a se obține prin înlocuirea lui x cu a în expresia funcției. Astfel:
f(a) = 2a + 3
Din datele problemei, acest f(a) este egal cu 7. Scriem ecuația: f(a) = 7, ceea ce înseamnă: 2a+3 = 7.
Aceasta este o ecuație în care necunoscuta este a. Rezolvăm și obținem: 2a = 7-3=4 deci a=2.
Soluție: a =2
(5 puncte) b) Se cere să calculăm aria triunghiului determinat de reprezentarea grafică a funcţiei f , axa Ox şi axa Oy.
Pentru a reprezenta grafic funcția de gradul I, despre care știm că are graficul o linie dreaptă, avem nevoie să cunoaștem două puncte ale acestei drepte. Cunoaștem de la geometrie că o dreaptă este determinate de două puncte distincte (dacă cunoaștem două puncte distincte ale unei drepte vom putea desena acea dreaptă). Graficul funcției de gradul I (dreapta) intersectează axa Ox într-un punct M de coordonate xM și yM notat M(xM , yM) și axa Oy într-un punct N de coordonate xN și yN notat N(xN , yN).
Deci avem M(xM , 0) și N(0, yN). Să aflăm coordonatele acestor două puncte.
Deoarece punctele M și N aparțin și graficului funcției, coordonatele lor verifică expresia funcției f (x) = 2x +3. Astfel când înlocuim valoarea lui x cu coordonata xM trebuie să obținem valoarea funcției egală cu yM. La fel și pentru punctul N, când înlocuim valoarea lui x cu coordonata xN trebuie să obținem valoarea funcției egală cu yN.
Obținem următoarele: 0 = 2xM + 3 și yN = 2∙0 + 3 rezultă că xM = -3/2 și yN = 3
Deci punctele sunt M(-3/2 , 0) și N (0, 3).
În sistemul de axe ortogonale xOy mărimea segmentului OM este egală cu 3/2 și ON = 3.
Notă: Calculul distanței dintre două puncte A(xa, ya) și B(xb, yb) se calculează cu formula:
(5p) 5. În expresia data, în care x este număr real, x 1 și x 0, efectuăm calculele și împărțirea la o fracție o transformăm în înmulțire cu fracția răsturnată. Expresia E(x) devin pentru orice număr real x , x 1 și x 0
Soluție: E(x) = 1 pentru orice x real, în afară de -1 și 0.
1. În Figura 2 gardul care înconjoară terenul va fi pe conturul celor 4 semicercuri. Deoarece 2 semicercuri formează un cerc, rezultă că vom avea lungimile a două cercuri.
Lungimea gardului = 2 (2reprezintă schiţa unui teren format dintr-un pătrat și patru semicercuri. Lungimea laturii
pătratului este egală cu 10 m. Terenul este înconjurat de un gard.Lungimea gardului = 2 (2reprezintă schiţa unui teren format dintr-un pătrat și patru semicercuri. Lungimea laturii
(5 puncte) a) Calculaţi lungimea gardului. R = L /2 = 10 / 2 = 5 metri
L = 2(2π R) = 4 π 5 = 4 π ∙5 = 20 π
metri.
(5 puncte) b) Arătați că aria întregului teren este egală cu
Aria întregului teren este egală cu
aria pătratului, adunată cu 4 arii de semicercuri:
A teren = L2 + 4 (π∙ R2
/2) = 102 + 4(π ∙52/2) = 100 + 50π = 50( 2 + π) m2
(5 puncte) c) Pe teren se vor planta trandafiri. Ştiind că fiecărui
trandafir îi este necesară o suprafaţă de 25 dm pătrați, verificaţi
dacă pe acest teren pot fi plantaţi 1028 de trandafiri. Se consideră cunoscut
faptul că
Suprafața neceasară unui trandafir este de 25 dm2
= 0,25m2.
Aria terenului este de 50( 2 + π) m2
= 50( 2 + 3,14 ) = 50∙5,14 = 257 m2
Numărul de trandafiri care se pot planta este de:
Nr trandafiri = 257 / 0,25 = 1028 fire de trandafir.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu