Test pregatire matematica clasa a VIII-a (varianta 2)

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Timp de lucru 2 ore.
(După subiectul al III-lea este prezentată rezolvarea întregului test).

Problemă cu procente

Problemă de la concursul Lumina Math 2014, clasa a 8-a

Vlad, Corina și Dan au fiecare câte o sumă de bani. Vlad și Corina au împreună 40% din suma totală, Corina și Dan au împreună 80% din suma totală. Ce procent din suma totală are Corina?

10%                        20%                         30%                   40%                       50%  ?


Presupunem că sumele de bani pe care le au cei trei copii sunt V, C și D. În total cei trei copii au o sumă de bani egală cu S.
putem scrie V + C + D = S    (1).
Deoarece problema ne cere să aflăm ce procent din suma totală are Corina, vom transforma relația de mai sus într-o relație în procente astfel:
Dacă întreaga sumă reprezintă întregul pe care îl împărțim în 100 de părți egale și fiecare copil are un anumit număr de părți, altfel spus: S îl reprezentăm prin 100% .Prin regula de trei simplă aflăm cât reprezintă sumele pe care le au copiii  în procente. notăm cât la sută din suma totală are Corina prin Pc, cât la sută din suma totală are Vlad prin Pv și la fel pentru  Dan prin Pd.
Dacă S ..........100%
         C  .............Pc      rezultă că   Pc =  C x 100%  / S

Dacă S .............100%
         V...............Pv        rezultă că Pv = V x 100% / S

și la fel pentru Dan:  dacă   S...........100%
                                         D............Pd   rezultă Pd =  D x 100% / S
În relația 1   înmulțim toată relația, la stânga și la dreapta cu 100% și totodată o împățim prin S. Obținem:

 V x 100%  +  C x 100% + D x 100%  = S x 100%  și după împărțirea relației prin S obținem:
V x 100% / S + C x100% / S + D x 100% / S = 100%
Acum observăm că în relația noastră sunt exact procentele din suma totală de bani pe care le au Vlad, Corina  și  Dan.
Pv + Pc + Pd = 100%  (2)
Din datele problemei cunoaștem că Vlad și Corina au împreună 40% din suma totală S, asta înseamnă că
Pv + Pc = 40%  
Dacă înlocuim acestă relație în relația 2 obținem procentele lui Dan:   Pd = 100% - 40% = 60%.
tot din datele problemei cunoaștem că Suma de bani pe care Corina și cu Dan o au reprezintă 80% din suma totală adică Pc + Pd = 80% . Înlocuim această relație în relația 2 și obținem Pv = 100% - 80% = 20%  .
Acum putem să aflăm Pc = 100% - Pd - Pv = 100% - 60% - 20%  = 20%.
Deci suma de bani pe care o are Corina reprezintă 20% din suma totală de bani.

Răspunsul problemei este:  20%.

Subiectul 3- evaluarea naţională 2013-2014 clasa a VIII-a

Problema nr. 1

Figura reprezintă schiţa unei camere în formă de dreptunghi ABCD cu aria de 48 m². Se ştie că lăţimea reprezintă ¾ din lungimea camerei. În interiorul camerei se află un şemineu (o sobă), reprezentat în figură de pătratul MNPD cu latura de 1m. Se montează parchet în cameră exceptând suprafaţa haşurată.

a)      calculaţi lungimea camerei;

b)      ştiind că pierderile de material reprezintă 10% din suprafaţa ce va fi acoperită cu parchet arătaţi că este necesar să se cumpere 51,7 m² de parchet.

c)      Parchetul se vinde ambalat în cutii care conţin fiecare câte 2,5m² de parchet. Preţul fiecărei cutii cu parchet este de 135 lei. Determinaţi suma minimă necesară pentru cumpărarea parchetului.

Rezolvare:

Ipoteza (datele problemei sau ce cunoaştem):

Aria dreptunghiului este de 48 m² şi lăţimea este 3/4  din lungimea camerei.

Concluzie: (ce cere problema) Lungimea camerei

Notăm pentru dreptunghiul ABCD

L – lungimea dreptunghiului ABCD

l  -   lăţimea  dreptunghiului ABCD

Formula ariei dreptunghiului este A_ABCD = L ∙l

Din datele problemei înlocuim valoarea ariei şi obţinem o ecuaţie:

L ∙l = 48      (1)

                                                        

Din datele problemei  avem  l  =    (3/ 4)   ∙  L  ;   Aceasta este cea de-a doua ecuaţie (2) .

                                                       

Avem două ecuaţii care sunt adevărate în acelaşi timp, asta înseamnă că ele formează un sistem de 2 ecuaţii cu 2 necunoscute şi putem să- l rezolvăm prin metoda înlocuirii (a substituţiei).

Înlocuim în ecuaţia (1) expresia lui l din ecuaţia (2) şi obţinem:

L ∙ (3/4) ∙  L = 48

L² ∙ 3 = 48∙ 4

L² ∙ 3 = 192

L²  = 192 : 3 = 64 se extrage radicalul din 64 şi rezultă

L =  8 m

b )  Valoarea lăţimii va fi egală cu (3/4) ∙  L = (3/4) ∙  8 = 3∙  2 = 6 m

La punctul b) se spune că doar suprafaţa liberă se acoperă cu parchet…deci aria haşurată a pătratului ocupată de şemineu ..trebuie scăzută din aria totală a dreptunghiului. Aria pătrtului este A_MNPD  = MD² unde MD este latura pătratului egală cu 1m. Rezultă:

A_MNPD  = 1 m²

Deci suprafaţa care se acoperă cu parchet este A_ABCD – A_MNPD = 48 – 1 = 47 m².

Pentru acoperirea cu parchet se folosesc 47 m² de parchet ..dar problema spune că sunt şi 10% pierderi din suprafaţa totală care se acoperă cu parchet  . Rezultă că pierderile reprezintă 10% ∙ 47 m² = 0,1 ∙ 47 m²  = 4,7 m².

Deoarece există pierderi de material (pierderile apar la tăierea plăcilor de parchet) când se cumpără cantitatea necesară de parchet este nevoie să cumpărăm mai mult pentru ca să ne asigurăm ..că după ce se pierd unele bucăţi din plăcile de material ne rămâne suficient material pentru a acoperi camera cu parchet. Deci trebuie cumpărată o cantitate de parchet egală cu 47 m² + 4,7 m²  = 51,7 m².

c)  Parchetul se vinde ambalat în cutii şi fiecare cutie conţine 2,5 m ²  de parchet.  Pentru a cumpăra cantitatea de 51,7 m2 ar trebui cumpărate x cutii. Cu ajutorul regulii de 3 simplă

2,5 m²…………1 cutie

51,7 m²………..x cutii

Numărul x de cutii este egal cu 51,7 : 2,5 = 20,68 cutii de parchet.

Deoarece nu se pot cumpăra decât cutii întregi .. se vor cumpăra 21 de cutii de parchet (numărul întreg imediat următor numărului zecimal). Acesta este un număr minim de cutii de parchet cu care se poate acoperi camera.

Pentru a calcula preţul folosim iar regula de trei simplă:

1 cutie .......135 lei

21 cutii.........x lei

Suma minimă necesară pentru cumpărarea parchetului va fi 21 ∙135 = 2835 lei.