Problemă cu procente

Problemă de la concursul Lumina Math 2014, clasa a 8-a

Vlad, Corina și Dan au fiecare câte o sumă de bani. Vlad și Corina au împreună 40% din suma totală, Corina și Dan au împreună 80% din suma totală. Ce procent din suma totală are Corina?

10%                        20%                         30%                   40%                       50%  ?


Presupunem că sumele de bani pe care le au cei trei copii sunt V, C și D. În total cei trei copii au o sumă de bani egală cu S.
putem scrie V + C + D = S    (1).
Deoarece problema ne cere să aflăm ce procent din suma totală are Corina, vom transforma relația de mai sus într-o relație în procente astfel:
Dacă întreaga sumă reprezintă întregul pe care îl împărțim în 100 de părți egale și fiecare copil are un anumit număr de părți, altfel spus: S îl reprezentăm prin 100% .Prin regula de trei simplă aflăm cât reprezintă sumele pe care le au copiii  în procente. notăm cât la sută din suma totală are Corina prin Pc, cât la sută din suma totală are Vlad prin Pv și la fel pentru  Dan prin Pd.
Dacă S ..........100%
         C  .............Pc      rezultă că   Pc =  C x 100%  / S

Dacă S .............100%
         V...............Pv        rezultă că Pv = V x 100% / S

și la fel pentru Dan:  dacă   S...........100%
                                         D............Pd   rezultă Pd =  D x 100% / S
În relația 1   înmulțim toată relația, la stânga și la dreapta cu 100% și totodată o împățim prin S. Obținem:

 V x 100%  +  C x 100% + D x 100%  = S x 100%  și după împărțirea relației prin S obținem:
V x 100% / S + C x100% / S + D x 100% / S = 100%
Acum observăm că în relația noastră sunt exact procentele din suma totală de bani pe care le au Vlad, Corina  și  Dan.
Pv + Pc + Pd = 100%  (2)
Din datele problemei cunoaștem că Vlad și Corina au împreună 40% din suma totală S, asta înseamnă că
Pv + Pc = 40%  
Dacă înlocuim acestă relație în relația 2 obținem procentele lui Dan:   Pd = 100% - 40% = 60%.
tot din datele problemei cunoaștem că Suma de bani pe care Corina și cu Dan o au reprezintă 80% din suma totală adică Pc + Pd = 80% . Înlocuim această relație în relația 2 și obținem Pv = 100% - 80% = 20%  .
Acum putem să aflăm Pc = 100% - Pd - Pv = 100% - 60% - 20%  = 20%.
Deci suma de bani pe care o are Corina reprezintă 20% din suma totală de bani.

Răspunsul problemei este:  20%.