Problemă cu procente

Problemă de la concursul Lumina Math 2014, clasa a 8-a

Vlad, Corina și Dan au fiecare câte o sumă de bani. Vlad și Corina au împreună 40% din suma totală, Corina și Dan au împreună 80% din suma totală. Ce procent din suma totală are Corina?

10%                        20%                         30%                   40%                       50%  ?


Presupunem că sumele de bani pe care le au cei trei copii sunt V, C și D. În total cei trei copii au o sumă de bani egală cu S.
putem scrie V + C + D = S    (1).
Deoarece problema ne cere să aflăm ce procent din suma totală are Corina, vom transforma relația de mai sus într-o relație în procente astfel:
Dacă întreaga sumă reprezintă întregul pe care îl împărțim în 100 de părți egale și fiecare copil are un anumit număr de părți, altfel spus: S îl reprezentăm prin 100% .Prin regula de trei simplă aflăm cât reprezintă sumele pe care le au copiii  în procente. notăm cât la sută din suma totală are Corina prin Pc, cât la sută din suma totală are Vlad prin Pv și la fel pentru  Dan prin Pd.
Dacă S ..........100%
         C  .............Pc      rezultă că   Pc =  C x 100%  / S

Dacă S .............100%
         V...............Pv        rezultă că Pv = V x 100% / S

și la fel pentru Dan:  dacă   S...........100%
                                         D............Pd   rezultă Pd =  D x 100% / S
În relația 1   înmulțim toată relația, la stânga și la dreapta cu 100% și totodată o împățim prin S. Obținem:

 V x 100%  +  C x 100% + D x 100%  = S x 100%  și după împărțirea relației prin S obținem:
V x 100% / S + C x100% / S + D x 100% / S = 100%
Acum observăm că în relația noastră sunt exact procentele din suma totală de bani pe care le au Vlad, Corina  și  Dan.
Pv + Pc + Pd = 100%  (2)
Din datele problemei cunoaștem că Vlad și Corina au împreună 40% din suma totală S, asta înseamnă că
Pv + Pc = 40%  
Dacă înlocuim acestă relație în relația 2 obținem procentele lui Dan:   Pd = 100% - 40% = 60%.
tot din datele problemei cunoaștem că Suma de bani pe care Corina și cu Dan o au reprezintă 80% din suma totală adică Pc + Pd = 80% . Înlocuim această relație în relația 2 și obținem Pv = 100% - 80% = 20%  .
Acum putem să aflăm Pc = 100% - Pd - Pv = 100% - 60% - 20%  = 20%.
Deci suma de bani pe care o are Corina reprezintă 20% din suma totală de bani.

Răspunsul problemei este:  20%.

Inecuație cu numere întregi clasa a 8-a

Un exercițiu de la concursul național de matematică Lumina math 2014 clasa a 8-a.

Dacă a este un număr natural nenul astfel încât pentru exact 11 valori întregi ale lui x avem inegalitatea,

atunci a are valoarea

 1                     2                 3                  4             sau              5 ?

Rezolvare:

Luăm prima partea a inegalității și scriem inecuația:

Aducem la același numitor și eliminăm numitorul (putem să scriem fără numitor deoarece acesta este un număr pozitiv / este număr natural/ . Rezultă      -a < x.

Luăm cea de –a doua parte a inegalității și scriem inecuația: 

Aducem la același numitor și eliminăm numitorul (putem să scriem fără numitor deoarece acesta este un număr pozitiv / este număr natural/ . Rezultă      x < 2a.

Punând împreună cele două inecuații avem:   -a < x< 2a.

Problema ne spune că x are exact 11 valori.  Pentru că a este un număr natural, 2a este dublul lui, tot natural și –a este număr negativ. Rezultă că numărul zero care se află între –a  și 2a   poate fi valoare a lui x, de asemenea   numărul  a   aflat între –a și 2a poate fi valoare a lui x.

Dacă desenăm o axă a numerelor:

Segmentele    -a până la zero ,   sau de la 0   până la a, precum și cel de la  a până la 2a  sunt de aceeași mărime, ele conțin același număr de numere între ele   și anume a-1  numere ( de exemplu de la 4 până la 8  fără să considerăm capetele găsim  8 – 4 –1 numere ).

Avem 3 segmente,  deci sunt    3(a-1) numere în interiorul fiecărui segment. Dar împreună cu valorile care pot fi ale lui x, adică  0  și a (deci încă două valori), înseamnă că avem

3(a-1) + 2 numărul total de valori ale lui x între –a   și 2a. 

Această expresie o egalăm acum cu 11 deoarece problema spune că sunt exact 11 valori ale lui x.

3(a-1) + 2 = 11

3(a-1)  = 9

a-1 = 3   =>  a = 4  

Soluția problemei este a =4.