Problemă cu dreaptă perpendiculară pe plan / unghi diedru

Fie triunghiul ABC, m(≮C)=90^o, m(≮BAC)=60^o și AC 6 cm. Pe planul triunghiului ABC, în centrul cercului circumscris triunghiului, se ridică perpendiculara OM. Știind că MC = 6 √3 cm, calculați:

a)   Distanțele de la punctul M la laturile AC și BC;

b) Distanța de la O la planul (MBC);

c) Tangenta unghiului plan corespunzător diedrului format de planele (MBC) și (ABC);

d)  Cosinusul unghiului format de dreptele AC și MN, unde MN = d(M, BC).

Rezolvare:

a)       Mai întâi desenăm figura cu atenție. Avem grijă să ridicăm perpendiculara în punctul O = centrul cercului circumscris triunghiului. Știm că centrul cercului circumscria unui triunghi se găsește la intersecția mediatoarelor laturilor triunghiului (știm că mediatoarea unei laturi = segment, este o dreaptă perpendiculară pe segment în punctul de mijloc al segmentului). 

Deoarece triunghiul ABC este dreptunghic, mediatoarele se întâlnesc într-un punct unic care este situat la mijlocul ipotenuzei triunghiului. Triunghiul dreptunghic se înscrie într-un semicerc și ipotenuza este diametru al cercului circumscris. Raza cercului circumscris este egală cu jumătate din ipotenuză.

În triunghiul ABC, dreptunghic avem AC = 6 cm și unghiul BAC de 60 de grade. Rezultă că unghiul ABC are 30 grade. Deoarece cateta opusă unghiului de 30 de grade este jumătate din ipotenuză: AC = AB / 2 , rezultă că AB = 12 cm. BC îl putem calcula cu teorema lui Pitagora: BC² = AB² - AC² = 144 - 36 =  108, BC = 6√3 cm.

Distanța de la punctul M la latura AC, respectiv BC, o construim ducând perpendiculara din M pe latura AC și apoi pe BC. Notăm punctele N (pe BC) și P (pe AC).

Deoarece OM ^(ABC) , MN ^BC, unde BC ⊂(ABC), conform teoremei celor 3 perpendiculare avem ON ^ BC. La fel, deoarece OM ^(ABC) , MP ^AC, unde AC ⊂(ABC), conform teoremei celor 3 perpendiculare avem OP ^ AC În triunghiul ABC, ON ^ BC și AC^BC, O mijlocul laturii AB, rezultă că ON ‖ AC unde ON este linie mijlocie. Rezultă că ON = AC / 2 = 3 cm. La fel demonstrăm și pentru OP că este linie mijlocie OP = BC / 2 = 3√3 cm.

Deoarece OM este perpendiculară pe planul ABC, este perpendiculară pe orice dreaptă din planul ABC, deci și pe ON, pe OP dar și pe OC. Deci triunghiurile MON , MOP și MOC: sunt dreptunghice și aplicând teorema lui Pitagora putem calcula, mai întâi în triunghiul MOC unde cunoaștem MC = 6√3 cm și CO = 6 cm (raza cercului circumscris = mediana din vârful unghiului drept = jumătate din ipotenuza). MO² = MC² - CO² = (6√3)² - 6²  = 108 - 36 = 72, MO=6√2 CM.

BC = 6 cm

In triunghiul MON:  MN² = ON² +MO² = 3²  + 6²  = 9 + 72 = 81,  MN = √81 = 9 cm,

ÎN triunghiul MOP: MP² = OP² +MO² = (3√3)² + (6√2)²  = 27 + 72 = 99,  MP = √99 = 3√11cm,

 b)   Construim OR ^ (MBC). Deoarece BC⊂ (MBC) și ON ^ BC, conform teoremei celor 3 perpendiculare RN ^ BC. În planul MBC, Punctele M, R și N sunt coliniare deoarece printr-un punct R nu se poate duce decât o singură perpendiculară pe dreapta BC.

Distanța de la punctul O la planul MBC este OR înălțimea din unghiul drept a triunghiului dreptunghic MON. Deoarece înălțimea triunghiului dreptunghic este egală cu produsul catetelor împărțit la ipotenuză, avem: OR = OM * ON / MN = 6√2 * 3 / 9 = 2 √2 cm.

c)Planele MBC și ABC formează un unghi, numit unghi diedru. Acest unghi se măsoară între două drepte, una din planul MBC si alta din planul ABC, fiecare dintre drepte fiind  perpendiculară pe dreapta BC de intersecție a celor două plane. Astfel avem: MN ^ BC și  ON^BC, rezultă că unghiul diedru este unghiul MNO. Tangenta acestui unghi o calculăm în triunghiul dreptunghic MON:

 tg (≮MNO) = OM/ON = 6√2 / 3 = 2√2 .

d)  Unghiul dintre dreptele AC și MN, două drepte în spațiu, îl putem evidenția ducând o paralelă la una dintre drepte care să intersecteze cealaltă dreaptă. O paralelă la AC este ON care intersectează MN în punctul N. Unghiul dintre ON și MN : ≮MNO, este unghiul dintre AC și MN. În triunghiul MNO: 

cos (≮MNO) = ON / MN = 3 / 9 = 1/ 3.