Exercițiu cu module și partea întreagă a unui număr real

Se consideră numărul real x care are partea întreagă egală cu 2. Arătați că

|x - 3| + |x - 2| = 1

Rezolvare:

Un număr real care are o parte întreagă și o parte fracționară. Orice număr real se poate scrie sub forma:

   x =  [x] + {x}   (relația 1)

Prin   [x] am notat partea întreagă a numărului x și prin {x} am notat partea fracționară a numărului x.

Voi da un exemplu:    2,3 = 2 + 0,3  ( 2 este partea întreagă și 0,3 partea fracționară.

Din acest exemplu înțelegem că partea întreagă a unui număr real este egală cu cel mai mare număr întreg care este mai mic decât numărul dat.  Partea fracționară a numărului (formată din tot ce găsim după virgulă, adică toate zecimalele) este un număr care este întotdeauna pozitiv și are valoarea mai mică decât 1.

În concluzie numărul real x se găsește între două numere întregi consecutive:

  [x] < x < [x] +1 și partea fracționară a numărului x se găsește între 0 și 1

0 < {x} < 1  

Pentru un număr negativ, regula se păstrează și avem    -2,3 = -2 -0,3 = -2 -1+ 1 -0,3 = -3 + 0,7 .

Pentru a obține o parte fracționară pozitivă adunăm și scădem 1. Partea întreagă a lui -2,3 este numărul întreg anterior  -3 și partea fracționară este 0,7.

;

Revenim la exercițiul nostru.

Un număr cu partea întreagă 2 îl vom scrie x = 2 + {x} unde {x} reprezintă partea fracționară a numărului nostru. Deci numărul nostru real x  este situat între numerele întregi 2 și 3.

În relație avem două module. Pentru a putea face calculele avem nevoie să explicităm aceste module. Avem:

Din această explicitare și ținând cont că numărul nostru real  este situat între 2 și 3, doar a doua formă a modulului o putem lua în considerare. Așa că putem scrie: |x-3| = -x+3, deoarece numărul x este mai mic decât 3.  

Pentru cel de-al doilea modul, facem explicitarea:

Pentru acest modul, ținând cont că numărul nostru real x este situat între 2 și 3, rezultă că doar prima formă a modulului este bună. Deci |x-2| = x-2.

Acum putem să înlocuim în expresia noastră formele modulelor obținute după explicitare.

-x + 3 +x -2 = 1

-x+x se reduc și obținem 3-2 = 1, 1 =1, ceea ce este adevărat.