Ecuație cu module

Să se rezolve ecuația, pentru x aparținând mulțimii numerelor reale.

Rezolvare:

Pentru a rezolva o ecuație cu module este necesar să explicităm aceste module și să obținem expresiile pe care le au acestea în funcție de valorile necunoscutei x.

Așadar, primul modul are o expresie care este identică cu expresia dintre barele modulului atunci când aceasta este o cantitate pozitivă. Rezolvăm inecuația din condiție și obținem valorile lui x pentru această formă a modulului : 6x+1 atunci când x are o valoare mai mare decât -1/6.

Pentru claritate, am luat separat cazul în care modulul este egal cu zero și x=-1/6.

Cea de-a doua expresie a modulului este dată de expresia dintre bare luată cu semn negativ. Această formă a modulului o avem atunci când expresia dintre barele modulului este mai mică decât zero. Rezolvând inecuația din condiție obținem valorile lui x pentru această formă a modulului: -(6x+1) atunci când x este mai mic decât -1/6. 

Explicitarea modulului o vom scrie după cum urmează: 

În același mod explicităm și cel de-al doilea modul din ecuație:

Obținem cele două forme ale modulului: 1-x dacă x este mai mic decât 1, -(1-x) dacă xeste mai mare decât 1. De asemenea, pentru claritate, cazul în care modulul este egal cu zero l-am luat separat și am obținut valoare x=1.

Pasul următor este să obținem toate formele pe care ecuația noastră le poate avea în funcție de 

expresiile pe care le au modulele.

Deoarece expresiile modulelor sunt în funcție de  intervalele de valori ale lui x, vom face o discuție după locul lui x pe axa numerelor reale.

În prima linie din tabelul următor am trecut necunoscuta x și axa numerelor reale: capetele axei numerelor reale -infinit și + infinit și cele două valori -1/6 și 1 care sunt capetele intervalelor din condițiile obținute la explicitarea modulelor.

 În cea de-a doua linie am completat expresiile pe care le are primul modul  în dreptul intervalelor lui x din condiții. Expresia -(6x+1) o avem pentru valori ale lui x mai mici decât -1/6 (spre stânga lui -1/6). De la -1/6 până la 1, dar și la valori mai mari decât 1 avem expresia 6x+1. La valoarea -1/6 am completat cu 0, valoarea modulului.

La fel am completat și pentru cel de-al doilea modul. expresia 1-x pentru valori mai mici decât 1 ale lui x și expresia -(1-x) pentru valori mai mari decât 1 ale lui x.

Pe linia a 4-a din tabel am centralizat expresiile modulelor în ecuația dată.

Cazul 1.      Dacă x∈ (-¥ ; -1/6)

Forma ecuației este: -(6x+1)+2(1-x)+2x=3

-6x-1+2-2x+2x = 3

-6x = 2   =>  x = - 1/3    soluție unică care aparține intervalului domeniului de existență a ecuației;

Cazul 2     Dacă x = -1/6  rezultă      0 +2 ( 1 +1/6) +2 (-1/6) =3  , 2 +2/6 -2/6 = 3,    2 =3  ceea ce este imposibil (x = -1/6 nu poate fi soluție a ecuației)

Cazul 3     Dacă x∈ (-1/6; 1)

Forma ecuației este: 

6x+1+2(1-x)+2x=3 ;  6x +1 +2 -2x +2x =3 ;   6x +3 =3 ; 6x = 0 ;  x =0 soluție unică, care aparține domeniului de existență a ecuației.

Cazul 4    Dacă x = 1

6 + 1+2 -2 +2 =3 ;  9 = 3 imposibil; x =1 nu poate fi soluție a ecuației;

Cazul 5    Dacă x∈ (1 ;   +¥)

Forma ecuației este: 

6x+1-2(1-x)+2x=3;    6x +1 -2 +2x +2x =3 ;   10x -1 =3 ; 10x = 4 ;  x = 2/5  nu aparține domeniului de existență a ecuației, deci nu poate fi soluție.

În concluzie doar două valori ale lui x sunt soluții ale ecuației: -1/3   și 0. 
Rezultat:

 x∈ {-1/3; 0}